Esta es una ecuación homogénea, que puede resolverse usando alguna sustitución simple. Por lo general, sustituimos [math] y = vx [/ math], pero en este caso, necesitaremos un tipo especial de sustitución, porque en este caso, la coordenada [math] y [/ math] no sería un múltiplo escalar de [matemáticas] x [/ matemáticas]. De hecho, esta vez tenemos que usar un método de cambio de coordenadas.
Aquí se explica cómo resolverlo
[matemática] \ begin {align} \ dfrac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} & = \ dfrac {y ^ 2 + x ^ 2 + 2xy + y + x} {y ^ 2 + x ^ 2 + 2xy + 2y + 2x} \\\ dfrac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} & = \ dfrac {(x + y) ^ 2 + (x + y)} {(x + y) ^ 2 + 2 (x + y)} \\\ dfrac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} & = \ dfrac {(x + y) (x + y + 1)} {(x + y) (x + y + 2)} \ \\ dfrac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} & = \ dfrac {x + y + 1} {x + y + 2} \\\ hline \ text {Let} & v = x + y \ implica \ dfrac { \ mathrm dv} {\ mathrm dx} = 1 + \ dfrac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} \\\ hline \ dfrac {\ mathrm dv} {\ mathrm dx} -1 & = \ dfrac {v + 1} {v + 2} \\\ dfrac {\ mathrm dv} {\ mathrm dx} & = \ dfrac {v + 1} {v + 2} +1 \\\ dfrac {\ mathrm dv} {\ mathrm dx} & = \ dfrac {2v + 3} {v + 2} \\\ int \ dfrac {v + 2} {2v + 3} \ mathrm dv & = \ int \ mathrm dx \\\ int \ dfrac {\ dfrac12 (2v + 3) + \ dfrac12} {2v + 3} \ mathrm dv & = x + C \\\ dfrac12v + \ dfrac14 \ ln | 2v + 3 | & = x + C \\\ dfrac12 (x + y) + \ dfrac14 \ ln | 2x + 2y + 3 | & = x + C \\ (2x + 2y) + \ ln | 2x + 2y + 3 | & = 4x- \ ln K \ qquad [\ porque 4C = – \ ln k] \\ \ ln | k (2x + 2y + 3) | & = 2x-2y \\ k (2x + 2y + 3) & = e ^ {2x-2y} \ end {align} \ tag * {} [/ math]