¿Cuál es el significado de los valores propios de una ecuación diferencial?

Answer 1

La respuesta de Natalia Nezvanova es una descripción completa de cuáles son los valores propios. Para poner esto en palabras ligeramente diferentes, los valores propios son las raíces del polinomio característico de la ecuación diferencial. El polinomio característico es la ecuación que obtienes cuando reemplazas cualquier instancia de una variable diferenciada por otra variable y trata la diferenciación repetida como elevar esa variable a una potencia igual al número de diferenciaciones. Por ejemplo, [matemática] y ‘[/ matemática] se diferencia una vez, por lo que se convierte en [matemática] s ^ 1 = s [/ matemática], [matemática] y’ ‘[/ matemática] se convierte en [matemática] s ^ 2 [/ matemática], y [matemática] y [/ matemática] se convierte en [matemática] s ^ 0 = 1 [/ matemática].

La razón por la que te importan los valores propios es porque para las ecuaciones lineales, te dicen todo lo que hay que saber sobre el comportamiento de las soluciones. Por ejemplo, si la parte real de algunos de los valores propios es positiva, usted sabe que existen soluciones inestables a la ecuación diferencial, ya que sabe que habría algún modo que es un múltiplo de, [matemáticas] e ^ {\ lambda t} [/ math], donde la parte real del valor propio [math] \ lambda [/ math] es positiva. Esa solución crece sin límites. Del mismo modo, si tiene todos los valores propios distintos con todas las partes reales negativas, sabe que la solución siempre vuelve a 0, asintóticamente.

Tenga en cuenta que los valores propios son independientes de las condiciones iniciales ([matemática] y (0) = 0, y ‘(0) = 0) [/ matemática] en su ejemplo). Los valores propios dependen completamente de su ecuación diferencial (lineal) y determinan su espacio de solución. Las condiciones iniciales determinan qué modos del espacio de solución están activos para el problema específico de interés.

Answer 2

Me gustaría señalar que la pregunta original es sobre un BVP, no un IVP. Si asume [math] \ lambda \ leq 0 [/ math], puede mostrar que no hay funciones propias / valores propios no triviales.

Asuma [math] \ lambda> 0 [/ math] y establezca [math] \ lambda = \ mu ^ 2 [/ math]. La solución general es [math] y (x) = C_1 \ cos (\ mu x) + C_2 \ sin (\ mu x) [/ math].

La condición [matemática] y ‘(0) = 0 [/ matemática] implica [matemática] C_2 = 0 [/ matemática].

La segunda condición límite produce
[matemáticas]
C_1 \ cos (\ mu) = 0
[/matemáticas]
y, para obtener soluciones no triviales, tomamos [math] \ lambda_k = ((2k + 1) \ frac {\ pi} {2}) ^ 2 [/ math] con [math] k = 0, 1, \ ldots [/ math]. [Math] \ lambda_k [/ math] son ​​los valores propios con las funciones propias correspondientes [math] \ phi_k (x) = A_k \ cos (\ mu_k x) [/ math].

Mi punto: las funciones propias / valores propios están determinados por el operador diferencial y las condiciones de contorno. En este caso el espectro es discreto.

ACTUALIZACIÓN: Se corrigió un error tipográfico.