La EDO:
[matemáticas] \ displaystyle {x ^ 2y ” + 3xy ‘+ 5y = 0} [/ matemáticas]
I. Método 1: sustitución de Euler
Esta es una ecuación de Euler que se puede reducir a una EDO lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. La forma general viene dada por:
[matemáticas] \ displaystyle {x ^ 2y ” + Axy ‘+ By = 0} \ qquad (1) [/ math]
donde [matemáticas] A, \, B [/ matemáticas] son constantes.
Usando una sustitución [matemáticas] | x | = e ^ t \ Rightarrow t = \ mathrm {ln} | x | [/ math]. Tenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} x} = \ frac {1} {x}} [/ math]
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entonces
[matemáticas] \ displaystyle {y ‘= \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t} \ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} x} = \ frac {1} {x} \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} [/ math]
y
[matemáticas] \ displaystyle {y ” = \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ left (\ frac {1} {x} \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t} \ right) = – \ frac {1} {x ^ 2} \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t} + \ frac {1} {x} \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} \ left (\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t} \ right) \ cdot \ frac {\ mathrm {d} t } {\ mathrm {d} x} = \ frac {1} {x ^ 2} \ left (\ frac {\ mathrm {d} ^ 2y} {\ mathrm {d} t ^ 2} – \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t} \ right)} [/ math]
Sustituyendo en la ecuación (1), obtenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ 2y} {\ mathrm {d} t ^ 2} + (A-1) \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t } + Por = 0} [/ matemáticas]
Esta es una ODE lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes que está lista para resolver utilizando los métodos estándar.
Nota: con respecto a la ecuación original donde [matemáticas] A = 3, B = 5 [/ matemáticas] resolvemos la ecuación equivalente a continuación:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ 2y} {\ mathrm {d} t ^ 2} + 2 \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t} + 5y = 0} [/ matemáticas]
La ecuación característica:
[matemáticas] \ displaystyle {\ lambda ^ 2 + 2 \ lambda + 5 = 0} [/ matemáticas]
Esta ecuación tiene dos raíces complejas:
[matemáticas] \ displaystyle {\ lambda_1 = -1 – 2i, \, \ lambda_2 = -1 + 2i} [/ matemáticas]
entonces dos soluciones particulares de la ecuación equivalente serán:
[math] \ displaystyle {y_1 = e ^ {- t} \ mathrm {cos} 2t} [/ math] y
[matemáticas] \ displaystyle {y_2 = e ^ {- t} \ mathrm {sin} 2t} [/ math]
En consecuencia, la solución general de la ecuación equivalente es:
[matemáticas] \ displaystyle {y = C_1y_1 + C_2y_2 = C_1e ^ {- t} \ mathrm {cos} 2t + C_2e ^ {- t} \ mathrm {sin} 2t} [/ math]
donde [math] C_1, \, C_2 [/ math] son cualquier par de constantes
Como [math] t = \ mathrm {ln} | x | [/ math] entonces:
[matemáticas] \ displaystyle {y = \ frac {C_1} {x} \ mathrm {cos} (2 \ mathrm {ln} | x |) + \ frac {C_2} {x} \ mathrm {sin} (2 \ mathrm {ln} | x |)} [/ math]
es la solución general que necesitamos, donde [math] C_1, \, C_2 [/ math] son constantes
II Método dos: solución particular
Consideramos la ecuación general (1). Debido a que sus coeficientes son polinomiales, vale la pena encontrar soluciones particulares de su en el de [math] y (x) = x ^ k [/ math] donde [math] k [/ math] es una constante que se definirá más adelante . Entonces nosotros tenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {y ‘= kx ^ {k-1}} [/ matemáticas]
y
[matemáticas] \ displaystyle {y ” = k (k-1) x ^ {k-2}} [/ matemáticas]
luego los sustituimos en la ecuación (1), obtenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {k (k-1) x ^ k + Akx ^ k + Bx ^ k = 0} [/ matemáticas]
Dividido por [matemáticas] x ^ k [/ matemáticas]:
[matemáticas] k ^ 2 + (A-1) k + B = 0 \ qquad (2) [/ matemáticas]
La ecuación (2) es una ecuación característica característica de la ecuación (1). Al resolver para [math] k [/ math] podemos obtener la solución general de (1). Y recuerde que todavía tenemos que preocuparnos por varios escenarios relacionados con las raíces de la ecuación (2), que es lo mismo que debemos hacer para resolver la ecuación característica de una EDO homogénea lineal de segundo orden con coeficientes constantes.
Nota: para el caso que nos ocupa, [matemática] A = 3, \, B = 5 [/ matemática] la ecuación característica es:
[matemáticas] k ^ 2 + 2k + 5 = 0 [/ matemáticas]