¿Cuál es la solución de esta ecuación diferencial?

Answer 1

La ecuación diferencial dada se puede resolver utilizando el siguiente método:

Reorganizando la ecuación:

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = – \ left [\ dfrac {1} {3x ^ 2y ^ 2} + \ dfrac {2xy ^ 3} {3x ^ 2y ^ 2} \ right] [/ math]

[math] = \ dfrac {-1} {3x ^ 2y ^ 2} – \ dfrac {2y} {3x} [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} + \ left (\ dfrac {2} {3x} \ right) y = \ left (- \ dfrac {1} {3} x ^ {- 2} \ right) y ^ {- 2} [/ matemáticas]… (i)

Identificación del tipo de ecuación diferencial:

La ecuación (i) tiene la forma

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} + P (x) y = Q (x) y ^ n [/ matemáticas]…. (ii)

donde [matemáticas] n = -2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] Es la forma estándar de la ecuación diferencial de Bernoulli.

Comparación con la ecuación diferencial de Bernoulli:

Al comparar la ecuación (i) y (ii), obtenemos:

[matemáticas] P (x) = \ dfrac {2} {3x}, \; \; Q (x) = \ dfrac {-1} {3} \ cdot x ^ {- 2} [/ math]

Entonces, la ecuación dada es una ecuación diferencial de Bernoulli.

Cómo resolver la ecuación diferencial de Bernoulli:

Para resolver este tipo de ecuaciones, necesitamos reducirlas a ecuaciones diferenciales lineales (LDE) de primer orden.

La ecuación (i) es:

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} + \ left (\ dfrac {2} {3x} \ right) y = \ left (- \ dfrac {1} {3} x ^ {- 2} \ right) y ^ {- 2} [/ matemáticas]

Primero dividimos ambos lados entre [matemáticas] y ^ {- 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ 2 \ dfrac {dy} {dx} + \ left (\ dfrac {2} {3x} \ right) y ^ {3} = \ dfrac {-x ^ {- 2}} {3} … . (iii) [/ matemáticas]

Sustitución de [matemáticas] y ^ 3 [/ matemáticas] [matemáticas]: [/ matemáticas]

Deje [math] y ^ 3 = t [/ math]

[matemáticas] 3y ^ 2 dy = dt [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ 2 dy = \ dfrac {dt} {3} [/ matemáticas]

Ahora, la ecuación (iii) se reduce a la forma,

[matemáticas] \ dfrac {1} {3} \ cdot \ dfrac {dt} {dx} + \ dfrac {2t} {3x} = \ dfrac {-x ^ {- 2}} {3} [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {dt} {dx} + \ dfrac {2t} {x} = -x ^ {- 2} [/ matemáticas]… (iv)

Comparación con la forma estándar de LDE:

Forma estándar de ecuación diferencial lineal:

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} + P (x) = Q (x) [/ matemáticas]…. (v)

Al comparar la ecuación (iv) y (v), obtenemos:

[matemáticas] P (x) = \ dfrac {2} {x}, Q (x) = -x ^ {- 2}, \; \; y = t [/ matemáticas]

Solución general de primer orden LDE:

[matemática] y × IF = \ displaystyle \ int Q (x) × IF dx [/ matemática]… (vi)

donde IF = Factor integrador

¿Cómo encontrar el factor integrador?

[matemáticas] IF = e ^ {\ int P (x) dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ porque P (x) = \ dfrac {2} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto IF = e ^ {\ int \ frac {2} {x} dx} = e ^ {2 \ ell nx} = e ^ {\ ell nx ^ 2} = x ^ 2 [/ matemáticas]

Ponga los valores de [matemática] IF, Q (x) [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] en la ecuación (vi)

[matemáticas] t × x ^ 2 = \ displaystyle \ int -x ^ {- 2} \ cdot x ^ 2 dx = \ int \ dfrac {-1} {x ^ 2} \ cdot x ^ 2 dx [/ math]

[matemáticas] = – \ int dx = – x + C [/ matemáticas]

Aquí, C es una constante de integración.

[math] \ Rightarrow y ^ 3 × x ^ 2 = – x + C \ {\ porque t = y ^ 3 \} [/ math]

[matemáticas] y ^ 3 = \ dfrac {-x + C} {x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ sqrt [3] {\ dfrac {-x + C} {x ^ 2}} [/ matemáticas]

Esta es la solución de la ecuación diferencial dada.

Answer 2

La ecuación se puede reescribir como:
[matemáticas] \ displaystyle {y ‘+ \ frac {2} {3x} y = – \ frac {1} {3x ^ 2 y ^ 2} \ qquad (1)} [/ math] donde [math] \ displaystyle { y ‘= \ frac {dy} {dx}} [/ math]
Obviamente, [math] y = 0 [/ math] no es una solución a la ecuación (1) así que deje que [math] \ displaystyle {y = \ frac {1} {u} \ qquad (2)} [/ math] . Por lo tanto tenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {y ‘= – \ frac {1} {u ^ 2} u’} [/ math] donde [matemáticas] \ displaystyle {u ‘= \ frac {du} {dx}} [/ math]
Inserte (2) en (1), después de reorganizar obtenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {u ‘- \ frac {2} {3x} u = \ frac {1} {3x ^ 2} u ^ 4 \ qquad (3)} [/ matemáticas]
Esta es una EDO no homogénea de primer orden, por lo que consideramos la contraparte homogénea que es:
[matemáticas] \ displaystyle {u ‘- \ frac {2} {3x} u = 0 \ qquad (4)} [/ matemáticas]
La ecuación (4) es separable, por lo tanto, podemos reescribirla así:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {du} {u} = \ frac {2} {3x} dx \ qquad (5)} [/ matemáticas]
Integrar (5) tenemos una solución general a (4) que es:
[matemáticas] \ displaystyle {u = Cx ^ {\ frac {2} {3}}} [/ matemáticas] donde C es una constante de integración
Ahora regrese (3) usando el método de variación de constantes , consideramos una solución general a (3) en forma de [matemáticas] \ displaystyle {u = C (x) x ^ {\ frac {2} {3}}} [/ math] donde [math] C (x) [/ math] es una función de [math] x [/ math]
Así:
[matemáticas] \ displaystyle {u ‘= C’x ^ {\ frac {2} {3}} + \ frac {2} {3} Cx ^ {\ frac {-1} {3}} \ qquad (6) } [/ math] donde [math] \ displaystyle {C ‘= \ frac {dC} {dx}} [/ math]
Poner (6) en (3), obtenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {C’x ^ {\ frac {2} {3}} + \ frac {2} {3} Cx ^ {\ frac {-1} {3}} – \ frac {2} {3x } Cx ^ {\ frac {2} {3}} = \ frac {1} {3x ^ 2} (Cx ^ {\ frac {2} {3}}) ^ 4 \ qquad (7)} [/ math]
Reconocemos que la suma del segundo y tercer término en el lado izquierdo de (7) es 0. Entonces (7) se convierte en:
[matemáticas] \ displaystyle {C’x ^ {\ frac {2} {3}} = \ frac {1} {3x ^ 2} (Cx ^ {\ frac {2} {3}}) ^ 4} [/ matemáticas]
o simplemente:
[matemáticas] \ displaystyle {C ‘= \ frac {1} {3} C ^ 4 \ qquad (8)} [/ matemáticas]
Empleamos la misma técnica aplicada para (4), logramos:
[matemáticas] 3C ^ {- 4} dC = dx [/ matemáticas]
Y la solución a la ecuación (8) es:
[matemática] C ^ {- 3} = – x + K [/ matemática] donde K es una constante de integración
o
[matemáticas] \ displaystyle {C = \ frac {1} {\ sqrt [3] {- x + K}}} [/ matemáticas]
Por lo tanto:
[matemática] \ displaystyle {u = C (x) x ^ {\ frac {2} {3}} = \ sqrt [3] {\ frac {x ^ 2} {- x + K}}} [/ matemática]
Y finalmente la solución general a la ecuación (1) es:
[matemática] \ displaystyle {y = \ frac {1} {u} = \ sqrt [3] {\ frac {-x + K} {x ^ 2}}} [/ matemática] donde K es una constante arbitraria.

Answer 3

(dy / dx) = (-1 / 3 * x * x * y * y) – (2 * y / 3 * x);
(dy / dx) + (2 * y / 3 * x) = (-1 / 3 * x * x * y * y);
(3 * y ^ 2) * (dy / dx) + (2 / x) * (y ^ 3) = -1 / x * x;
Sustituye y ^ 3 como t
Por lo tanto, (3 * y ^ 2) * (dy / dx) = dt / dx;
Por lo tanto, dt / dx + (2 / x) * t = -1 / x * x;
Multiplica por x * x, obtienes
(x ^ 2) * (dt / dx) + 2 * x * t = -1;
d / dx (x * x * t) = -1;
Integrando en ambos lados obtienes
x * x * t = -x + c;
donde c es una constante de integración
Vuelva a sustituir t = y ^ 3;
(x ^ 2) (* y ^ 3) = -x + c