¿Cómo se resuelve el PDE lineal de primer orden [matemática] x \, u_x + y \, u_y = 0 [/ matemática]?

Answer 1

Entonces, ¿qué es una característica? Es una ruta (aquí en el plano xy) que no cambia la función (aquí u (x, y)). En términos de cálculo, decimos que la derivada direccional (en la dirección de la ruta) es cero; ningún cambio.

Por lo tanto, necesitamos encontrar la ruta [math] (x (s), y (s)) [/ math], parametrizada por s, de modo que la derivada de funciones con respecto a s sea cero. Entonces, escribimos esto matemáticamente como

[matemáticas] \ frac {du} {ds} = \ frac {\ partial u} {\ partial x} \ frac {dx} {ds} + \ frac {\ partial u} {\ partial y} \ frac {dy} {ds} = 0 [/ matemáticas]

la ecuación original es

[matemáticas] \ frac {\ partial u} {\ partial x} x + \ frac {\ partial u} {\ partial y} y = 0 [/ matemática]

Esto da de la ecuación original [matemáticas] \ frac {dx} {ds} = x [/ matemáticas] y [matemáticas] \ frac {dy} {ds} = y [/ matemáticas].

Por lo tanto, [matemáticas] x = C_1e ^ s [/ matemáticas] y [matemáticas] y = C_2e ^ s [/ matemáticas], para algunas constantes [matemáticas] C_1, C_2 [/ matemáticas]. Ahora equiparamos a través de [math] e ^ s [/ math] para obtener [math] \ frac {y} {x} = C [/ math]. (aquí [matemáticas] C = \ frac {C_2} {C_1} [/ matemáticas])

Entonces, después de toda esta matemática, repasemos rápidamente en palabras: necesitamos una curva en el plano xy de modo que la derivada de la función u a lo largo de esta curva sea cero. Para encontrar esta curva, parametrizamos tanto x como y por la variable s. Luego diferenciamos la función u con respecto a s, requiriendo que esta derivada sea cero, como se requería originalmente. Luego, equiparamos los coeficientes de la ecuación original que planteó a los coeficientes de esta derivada direccional, resuelta y equiparada para eliminar el parámetro s para obtener una curva en el plano xy. La constante simplemente nos permite saber en qué característica estamos.

Ahora puedo responder su pregunta más directamente: en la curva [math] \ frac {y} {x} = C [/ math] la función es constante. Entonces, ¿por qué no reorientarnos de tal manera que simplemente decimos, busquemos soluciones de la forma [math] u = f (C) = f (\ frac {y} {x}) [/ math]. Ya no importa en qué x o y estamos, sino su relación C! Esto esencialmente ha convertido una PDE en una ODE porque es solo en la dirección de aumentar o disminuir C que se altera la función.

Como analogía, piense en [matemáticas] G (x, y) = x [/ matemáticas]. Claramente en la dirección y la ecuación es la misma cosa una y otra vez. Entonces, en su pregunta, en lugar de tener una variable adicional innecesaria y, descubrimos que podemos reescribir la solución en términos de una NUEVA variable, y que cambiar x o y no es lo que importa, sino realmente la nueva variable.

No agrego gráficos, lo cual debería, pero trato de imaginar el plano xy debajo de alguna solución, como si hubiera alguna superficie (u (x, y)) flotando sobre el plano xy. ¿Qué sucede si simplemente volvemos a etiquetar el plano xy? No le pasa nada a la función. Entonces podemos hacer eso, no hay problema. Bueno, en lugar de mantener las etiquetas ortogonales, como el plano xy, podemos hacer que las dos coordenadas se muevan, llámelas C y D. Dado que sabemos que moverse a lo largo de una de las líneas onduladas D (es decir, mantener C constante) no Si cambiamos nuestra función (la superficie que flota sobre este plano), simplemente nos olvidamos de ella. Ahora solo mire la línea ondulada C y solo considere la función por encima de ella. Ahora, nuestra función u (x, y), que es una superficie sobre el plano CD, es ahora, en nuestra nueva vista, una curva unidimensional sobre la línea ondulada de C. No hemos perdido ninguna información sobre el PDE al ver el problema de esta manera, solo lo hemos simplificado.

¡Espero que esto ayude!

Answer 2

Solución basada en geometría :

Deje [math] \ Delta [/ math] ser una línea de contorno arbitraria que pasa por un cierto punto [math] M (x, y) [/ math] en la superficie integral [math] u (x, y) [/ math] de la ecuación:
[matemáticas] \ displaystyle {xu_x + yu_y = 0} \ quad (1) [/ matemáticas]
Dejemos reescribir (1) en forma de producto de punto que obtenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {(x, y) \ cdot (u_x, u_y)} \ quad (2) [/ matemáticas]
Sabemos que [math] \ displaystyle {\ vec {\ mathrm {grad}} u = (u_x, u_y)} [/ math] es un vector gradiente de la superficie integral [math] u (x, y) [/ math] en el punto [matemáticas] M (x, y) [/ matemáticas]. Además, si denota [math] \ vec {v} = (x, y) [/ math], entonces
[matemáticas] \ displaystyle {\ vec {v} \ cdot \ vec {\ mathrm {grad} u} = 0} \ quad (3) [/ matemáticas]
Ahora la ecuación (3) describe que el vector [math] \ displaystyle {\ vec {\ mathrm {grad}} u} [/ math] es perpendicular al vector [math] \ vec {v} [/ math]. Por otro lado, debido a las propiedades de las líneas de contorno, también sabemos que [math] \ displaystyle {\ vec {\ mathrm {grad}} u} [/ math] es normal a la línea de contorno [math] \ Delta [/ math ] en el punto [matemáticas] M (x, y) [/ matemáticas] también.
[math] \ Rightarrow [/ math] podemos deducir que [math] \ vec {v} [/ math] es tangente a la línea [math] \ Delta [/ math] en el punto [math] M (x, y) [/matemáticas]. Si deja que [math] \ varphi [/ math] sea el ángulo dirigido entre [math] \ vec {v} [/ math] y el vector unitario [math] \ vec {i} = (0,1) [/ math] entonces obviamente tenemos:
[matemática] \ displaystyle {\ mathrm {tan} \ varphi = \ frac {y} {x}} \ quad (4) [/ math]
Deje [math] y = y (x) [/ math] ser la función de la línea [math] \ Delta [/ math] en una virgen del punto [math] M (x, y) [/ math], entonces :
[matemáticas] \ displaystyle {\ mathrm {tan} \ varphi = y ‘(x) = \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x}} \ quad (5) [/ math]
De (4) y (5) se nos ocurre una EDO:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = \ frac {y} {x}} \ quad (6) [/ math]
Debido a que el punto [math] M (x, y) [/ math] fue elegido arbitrariamente, entonces el ODE (6) define la línea de contorno [math] \ Delta [/ math] completamente. Reescribir (6) tenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} y} {y} = \ frac {\ mathrm {d} x} {x}} \ quad (7) [/ math]
Al integrar ambos lados de (7) tenemos su solución general que es:
[matemática] y = Cx [/ matemática] donde [matemática] C [/ matemática] es cierta constante.
o
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {y} {x} = C}, \ qquad (x \ neq 0) \ quad (8) [/ matemáticas]
cuál es la ecuación de la línea [matemáticas] \ Delta [/ matemáticas]
Nuestra misión ahora es calcular la superficie integral [matemáticas] u (x, y) [/ matemáticas] con toda la información sobre líneas de contorno arbitrarias [matemáticas] \ Delta [/ matemáticas] ya disponibles (las funciones de esas líneas de contorno ya se conocen debido a (8)).
Es obvio que la superficie integral [matemática] u (x, y) [/ matemática] puede construirse ya que todas sus líneas de contorno están disponibles. Sin embargo, las líneas de contorno dependen solo de la constante [matemática] C [/ matemática] (debido a (8)). Eso significa que la superficie [matemática] u (x, y) [/ matemática] depende solo de [matemática] C [/ matemática]. En otra forma de decir [math] u (x, y) [/ math] es una cierta función de [math] C [/ math]. Así finalmente llegamos a la siguiente conclusión:
[matemática] \ displaystyle {u (x, y) = F (C) = F \ izquierda (\ frac {y} {x} \ derecha)} [/ matemática] donde [matemática] F (.) [/ matemática] es una función arbitraria diferenciable,
que es la solución general a la ecuación (1)
Nota: en este problema, la línea de contorno [matemática] \ Delta [/ matemática] es la línea característica de la superficie integral [matemática] u (x, y) [/ matemática] y es una línea recta.

Solución basada en el método de características :
El sistema que describe una determinada línea característica de la superficie integral es el siguiente:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {x} = \ frac {\ mathrm {d} y} {y} = \ frac {\ mathrm {d} u} {0}} \ quad (1) [/ matemáticas]
El último término en (1) [math] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} u} {0}} [/ math] confirma que la variable [math] u [/ math] es constante en la línea característica. Eso significa:
[matemática] u = C_1 \ quad (2) [/ matemática] donde [matemática] C_1 [/ matemática] es una constante arbitraria
El primer y segundo término de (1) forman una EDO que es:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {x} = \ frac {\ mathrm {d} y} {y}} \ quad (3) [/ math]
Integrar (3) tenemos su solución general que es:
[matemática] \ displaystyle {\ frac {y} {x} = C_2} \ quad (4) [/ matemática] donde [matemática] C_2 [/ matemática] es una constante arbitraria.
De la teoría del método de características para poder construir la superficie integral habría una relación de función entre [matemáticas] C_1, C_2 [/ matemáticas]. Este tipo de relación de función se puede elegir arbitrariamente, por conveniencia elegimos:
[matemática] C_1 = F (C_2) \ quad (5) [/ matemática] donde [matemática] F (.) [/ matemática] es una función arbitraria diferenciable.
Entonces, al insertar (2), (4) y (5) tenemos una ecuación que ayuda a determinar la superficie integral [matemática] u (x, y) [/ matemática]:
[matemáticas] \ displaystyle {u = F \ left (\ frac {y} {x} \ right)} [/ math]

Answer 3

Usando las reglas de cálculo, puede calcular las dos derivadas parciales de primer orden de f y sustituirlas en la ecuación diferencial y verificar que la solución es la forma que usted establece.