Considerar
[matemáticas] I (k) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- ax ^ 2} \ cos (kx) \, dx [/ math]
[matemática] \ Rightarrow I ‘(k) = – \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {- ax ^ 2} \ sin (kx) \, dx [/ math]
Integrar por partes para obtener,
- Cómo resolver el ODE [matemáticas] \ frac {d \ theta} {dt} = – \ sqrt {2K (\ cos (\ theta) – \ cos (\ theta_0))} [/ matemáticas] donde [matemáticas] K [ / math] es una constante positiva, y [math] \ cos (\ theta) \ geq \ cos (\ theta_0) [/ math]
- ¿Es útil conocer ecuaciones diferenciales parciales como científico de datos? Si es así, ¿cuáles son algunas de sus aplicaciones?
- ¿Cuál es la solución de la ecuación de calor con la condición inicial de la función dirac delta?
- ¿Existe una función que sea su propia tercera derivada pero no su propia primera o segunda derivada?
- ¿Cómo se resuelve el PDE lineal de primer orden [matemática] x \, u_x + y \, u_y = 0 [/ matemática]?
[matemáticas] I ‘(k) = – \ left (- \ frac {e ^ {- ax ^ 2}} {2a} \ sin (kx) \ right | _ {- \ infty} ^ {\ infty} [/ matemática] [matemática] – \ frac {k} {2a} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- ax ^ 2} \ cos (kx) \, dx [/ math]
[math] \ Rightarrow I ‘(k) = – \ frac {k} {2a} I (k) [/ math]
La solución de la ecuación diferencial anterior es:
[matemáticas] I (k) = Ce ^ {- k ^ 2 / (4a)} [/ matemáticas]
La constante [matemática] C [/ matemática] puede determinarse utilizando el hecho de que [matemática] I (0) = \ sqrt {\ frac {\ pi} {a}} [/ matemática]
Por lo tanto
[matemáticas] I (k) = \ sqrt {\ dfrac {\ pi} {a}} e ^ {- k ^ 2 / (4a)} [/ matemáticas]