¿Es útil conocer ecuaciones diferenciales parciales como científico de datos? Si es así, ¿cuáles son algunas de sus aplicaciones?

Answer 1

Las ecuaciones diferenciales parciales (PDE) tienen enormes conexiones con la optimización, la cuantificación de la incertidumbre e incluso áreas tan diversas como el procesamiento de imágenes.

Como ejemplo de optimización, muchos informáticos aprenden sobre la versión de tiempo discreto del principio de programación dinámica (DPP) para la optimización. La versión de tiempo continuo del DPP de Bellman conduce muy fácilmente a una PDE no lineal llamada ecuación de Hamilton-Jacobi. En general, esto se considera la PDE clave en la teoría determinista de control óptimo y tiene aplicaciones en el diseño óptimo de procesos, robótica, esencialmente cualquier cosa que pueda modelarse como un proceso de control continuo.

Es probable que muchas personas conozcan las profundas conexiones entre la PDE y las ecuaciones diferenciales estocásticas (SDE). Esto se debe al hecho de que el generador infinitesimal de un proceso Ito está dado por un operador diferencial parcial. Esto lleva a aplicaciones bien conocidas en las finanzas, especialmente la famosa ecuación de Black-Scholes.

Quizás más aplicable a la ciencia de datos, el control impulsado por las SDE conduce a una PDE parabólica no lineal conocida como la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman, que es, de muchas maneras, una ecuación más agradable de tratar que el caso determinista. Cualquier problema de control en el que la dinámica subyacente implique incertidumbre bien modelada por SDE (posiblemente con términos de salto) encaja bien aquí.

De forma similar a cómo las SDE tienen una conexión con PDE, PDE modela muchos procesos probabilísticos discretos en cierto sentido limitante. Incluso he oído hablar de documentos que computan cosas como cascos convexos y medianas generalizadas de grandes dimensiones de conjuntos de datos grandes aproximadamente mediante la resolución de PDE relacionadas. Por lo general, esto se hace asumiendo muchos puntos y algún modelo estadístico subyacente.

Uno de los grandes profesores de PDE aplicados aquí en Berkeley es Jamie Sethian, quien mantiene un sitio muy divertido para jugar. Página en berkeley.edu Incluye ejemplos como análisis médicos, semiconductores, eliminación de ruido (!) Y muchos tipos de optimización.

Muchas personas opinan que PDE es un campo matemático que no puede tener una teoría general satisfactoria, particularmente en el caso no lineal. Una explicación de esto que he escuchado antes es mirar las vastas aplicaciones, desde la física y las finanzas, hasta la topología, la ciencia de datos, etc., y preguntarse si una amplia teoría puede explicar una variedad tan amplia de fenómenos …

Answer 2

Si. Forman la base de muchos métodos numéricos (enumerados por Christopher) y tienen algunos propósitos en campos específicos de la ciencia de datos. El subcampo principal es el análisis de red. Los laplacianos, los modelos epidémicos y otras PDE a menudo se usan para comprender la conectividad de red y las propiedades organizacionales clave de vértices y bordes. La agrupación espectral se basa en los resultados de Laplacian, y muchos otros algoritmos de minería de datos también se pueden basar en esto.

El análisis de imágenes es otro subcampo en el que las PDE desempeñan un papel en la investigación, aunque no creo que haya mucho en la práctica todavía. Ricci flow y Yamabe flow son excelentes herramientas (basadas en PDE y geometría) para mapear un objeto complicado a uno más bonito para facilitar el análisis o la comparación. Por ejemplo, los cerebros pueden asignarse al mismo disco cóncavo utilizando puntos de referencia y flujo de Ricci (para guiar la curvatura y realizar un mapeo conforme, donde se conservan los ángulos). De esa manera, las imágenes se pueden comparar manzanas con manzanas, sin preocuparse por los diferentes tamaños o la ubicación de los puntos de referencia.