¿Existe una función que sea su propia tercera derivada pero no su propia primera o segunda derivada?

Answer 1

Aprovechando la respuesta de Natalia Nezvanova, vale la pena señalar que puede transformar esto en una respuesta evitando cualquier mención de números complejos en la respuesta final. (¡Tenga en cuenta, sin embargo, que sería bastante difícil resolver el problema sin el uso de números complejos!)

Note primero que

[matemáticas] r_2 = e ^ {2 \ pi i / 3} = \ frac {-1} {2} + \ frac {\ sqrt {3}} {2} i [/ matemáticas]

y

[matemáticas] r_3 = e ^ {- 2 \ pi i / 3} = \ frac {-1} {2} – \ frac {\ sqrt {3}} {2} i [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] e ^ {r_2 x} = \ exp \ left \ {\ left [\ frac {-1} {2} + \ frac {\ sqrt {3}} {2} i \ right] x \ right \} [/matemáticas]

[matemáticas] = e ^ {- x / 2} \ exp \ left \ {\ frac {\ sqrt {3}} {2} ix \ right \} [/ matemáticas]

[matemáticas] = e ^ {- x / 2} \ left [\ cos \ left (\ frac {\ sqrt {3}} {2} x \ right) + i \ sin \ left (\ frac {\ sqrt {3 }} {2} x \ right) \ right] [/ math]

y de manera similar

[matemáticas] e ^ {r_3 x} = e ^ {- x / 2} \ left [\ cos \ left (\ frac {\ sqrt {3}} {2} x \ right) – i \ sin \ left (\ frac {\ sqrt {3}} {2} x \ right) \ right] [/ math]

Desglosando esto en partes reales e imaginarias, tenemos

[matemáticas] c_1 e ^ x + c_2 e ^ {r_2 x} + c_3 e ^ {r_3 x} [/ matemáticas]
[matemáticas] = c_1 e ^ x + (c_2 + c_3) e ^ {- x / 2} \ cos \ left (\ frac {\ sqrt {3}} {2} x \ right) [/ math]
[matemáticas] + i (c_2 – c_3) e ^ {- x / 2} \ sin \ left (\ frac {\ sqrt {3}} {2} x \ right) [/ math]

Entonces vemos que cualquier función que sea igual a su tercera derivada es simplemente una combinación lineal de las tres funciones de valor real

[matemáticas] e ^ x [/ matemáticas], [matemáticas] e ^ {- x / 2} \ cos \ left (\ frac {\ sqrt {3}} {2} x \ right) [/ matemáticas], y [ matemática] e ^ {- x / 2} \ sin \ left (\ frac {\ sqrt {3}} {2} x \ right) [/ math]

Answer 2

En general,

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = e ^ {\ left (x \ cos \ frac {2 \ pi} {n} \ right)} \ cos \ left (x \ sin \ frac {2 \ pi} {n } \ right) [/ math]

es su propia [matemática] n [/ matemática] th derivada, pero no su propia [matemática] (n-1) [/ matemática] th derivada.

Por ejemplo,

Al poner [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas], obtenemos [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas].

Al poner [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas], obtenemos [matemáticas] e ^ {- x} [/ matemáticas].

Al poner [matemáticas] n = 4 [/ matemáticas], obtenemos [matemáticas] \ cos x [/ matemáticas]

Y para responder a su pregunta, poniendo [matemáticas] n = 3 [/ matemáticas], obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {e ^ {- \ frac {x} {2}} \ cos \ left (\ frac {\ sqrt 3} {2} x \ right)} [/ math]

Answer 3

Veamos. Lo que intenta hacer es resolver la siguiente ecuación diferencial:

[matemáticas] y ” ‘= y [/ matemáticas]

Cuya ecuación característica (puede encontrar más información sobre este google) es

[matemáticas] \ lambda ^ 3 = 1 [/ matemáticas]

Como probablemente sepa, según el teorema fundamental del álgebra, esta ecuación tiene tres raíces complejas (en general), a saber:

[matemáticas] \ lambda_1 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lambda_2 = – \ frac {1} {2} -i \ frac {\ sqrt 3} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lambda_3 = – \ frac {1} {2} + i \ frac {\ sqrt 3} {2} [/ matemáticas]

La solución general a la ecuación es por lo tanto

[matemáticas] y (x) = Ae ^ x + Be ^ {(- \ frac {1} {2} + i \ frac {\ sqrt 3} {2}) x} + Ce ^ {(- \ frac {1 } {2} – i \ frac {\ sqrt 3} {2}) x} [/ math]

[matemáticas] \ para todos A, B, C \ en \ mathbb {C} [/ matemáticas].

Answer 4

e ^ x

EDITAR: Respondí esto antes de que la pregunta detallara “¿Pero no su propia derivada primera o segunda?” fue añadido. Cuando escribí esta respuesta, la pregunta simplemente pedía una función que era su propia tercera derivada.

Answer 5

Hay una discusión sobre esto en MathForum:

Discusiones del foro de matemáticas

Answer 6

Seguro que tiene la función compleja f (x) = exp (zx) donde z es una raíz cúbica de la unidad (z * z * z = 1), pero ¿tal vez está buscando una función real?

Answer 7

Por supuesto, la función más simple es y = exp (x).