La ecuación dada:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t} = – \ sqrt {2K \ left (\ mathrm {cos} \ theta – \ mathrm {cos} \ theta_0 \ derecha)}} [/ matemáticas]
Deje [math] \ displaystyle {p = \ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} [/ math]. Después de cuadrar ambos lados de la ecuación tenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {p ^ 2 = 2K (\ mathrm {cos} \ theta – \ mathrm {cos} \ theta_0)} [/ math]
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Diferencie ambos lados entonces:
[matemáticas] \ displaystyle {2p \ mathrm {d} p = -2K \ mathrm {sin} \ theta \ mathrm {d} \ theta} [/ math]
Como [math] \ displaystyle {p = \ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t} \ Rightarrow \ mathrm {d} \ theta = p \ mathrm {d} t} [/ math] . Por lo tanto, la ecuación anterior se convierte en:
[matemáticas] \ displaystyle {2p \ mathrm {d} p = -2K \ mathrm {sin} \ theta p \ mathrm {d} t} [/ math]
Necesitamos [math] \ displaystyle {p \ ne 0} [/ math] luego, dividiendo entre [math] p [/ math] en ambos lados, la ecuación se reduce a:
[matemáticas] \ displaystyle {\ mathrm {d} p = -K \ mathrm {sin} \ theta \ mathrm {d} t} [/ math]
o:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} t} = -K \ mathrm {sin} \ theta} [/ math]
Por otro lado, desde [math] \ displaystyle {p = \ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t} \ Rightarrow \ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d } t} = \ frac {\ mathrm {d} ^ 2 \ theta} {\ mathrm {d} t ^ 2} = \ theta ”} [/ math]. Usando este resultado podemos reescribir la ecuación de la siguiente manera:
[math] \ displaystyle {\ theta ” + K \ mathrm {sin} \ theta = 0} [/ math]
Resulta que la ecuación describe la oscilación de un péndulo simple. Con un desplazamiento angular oscilante muy pequeño tenemos [math] \ displaystyle {\ mathrm {sin} \ theta \ approx \ theta} [/ math]. Por lo tanto:
[matemáticas] \ displaystyle {\ theta ” + K \ theta = 0} [/ matemáticas]
Esta es una ecuación de oscilador armónico, su solución está dada por:
[math] \ displaystyle {\ theta = A \ mathrm {sin} \ left (\ sqrt {K} t + \ varphi \ right)} [/ math]
donde [math] \ displaystyle {A, \ varphi} [/ math] se llaman amplitud y fase inicial del oscilador.
Es fácil verificar que [math] \ displaystyle {A = \ theta_0} [/ math], entonces tenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {\ theta = \ theta_0 \ mathrm {sin} \ left (\ sqrt {K} t \ right)} [/ math]
Con respecto a [math] \ displaystyle {\ theta} [/ math] grande, deberíamos usar la expansión de Fourier para lograr una solución en serie. O aproximarlo usando el método numérico.