Cómo resolver el ODE [matemáticas] \ frac {d \ theta} {dt} = – \ sqrt {2K (\ cos (\ theta) – \ cos (\ theta_0))} [/ matemáticas] donde [matemáticas] K [ / math] es una constante positiva, y [math] \ cos (\ theta) \ geq \ cos (\ theta_0) [/ math]

La ecuación dada:

[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t} = – \ sqrt {2K \ left (\ mathrm {cos} \ theta – \ mathrm {cos} \ theta_0 \ derecha)}} [/ matemáticas]

Deje [math] \ displaystyle {p = \ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} [/ math]. Después de cuadrar ambos lados de la ecuación tenemos:

[matemáticas] \ displaystyle {p ^ 2 = 2K (\ mathrm {cos} \ theta – \ mathrm {cos} \ theta_0)} [/ math]

Diferencie ambos lados entonces:

[matemáticas] \ displaystyle {2p \ mathrm {d} p = -2K \ mathrm {sin} \ theta \ mathrm {d} \ theta} [/ math]

Como [math] \ displaystyle {p = \ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t} \ Rightarrow \ mathrm {d} \ theta = p \ mathrm {d} t} [/ math] . Por lo tanto, la ecuación anterior se convierte en:

[matemáticas] \ displaystyle {2p \ mathrm {d} p = -2K \ mathrm {sin} \ theta p \ mathrm {d} t} [/ math]

Necesitamos [math] \ displaystyle {p \ ne 0} [/ math] luego, dividiendo entre [math] p [/ math] en ambos lados, la ecuación se reduce a:

[matemáticas] \ displaystyle {\ mathrm {d} p = -K \ mathrm {sin} \ theta \ mathrm {d} t} [/ math]

o:

[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} t} = -K \ mathrm {sin} \ theta} [/ math]

Por otro lado, desde [math] \ displaystyle {p = \ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t} \ Rightarrow \ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d } t} = \ frac {\ mathrm {d} ^ 2 \ theta} {\ mathrm {d} t ^ 2} = \ theta ”} [/ math]. Usando este resultado podemos reescribir la ecuación de la siguiente manera:

[math] \ displaystyle {\ theta ” + K \ mathrm {sin} \ theta = 0} [/ math]

Resulta que la ecuación describe la oscilación de un péndulo simple. Con un desplazamiento angular oscilante muy pequeño tenemos [math] \ displaystyle {\ mathrm {sin} \ theta \ approx \ theta} [/ math]. Por lo tanto:

[matemáticas] \ displaystyle {\ theta ” + K \ theta = 0} [/ matemáticas]

Esta es una ecuación de oscilador armónico, su solución está dada por:

[math] \ displaystyle {\ theta = A \ mathrm {sin} \ left (\ sqrt {K} t + \ varphi \ right)} [/ math]
donde [math] \ displaystyle {A, \ varphi} [/ math] se llaman amplitud y fase inicial del oscilador.

Es fácil verificar que [math] \ displaystyle {A = \ theta_0} [/ math], entonces tenemos:

[matemáticas] \ displaystyle {\ theta = \ theta_0 \ mathrm {sin} \ left (\ sqrt {K} t \ right)} [/ math]

Con respecto a [math] \ displaystyle {\ theta} [/ math] grande, deberíamos usar la expansión de Fourier para lograr una solución en serie. O aproximarlo usando el método numérico.