Cómo cambiar la ecuación diferencial [matemática] (1-e ^ {x}) y ” + \ frac {1} {2} y ‘+ e ^ xy = 0 [/ matemática] en una ecuación de tipo hipergeométrica usando el transformación [matemática] e ^ x [/ matemática] y, por lo tanto, encuentre la solución general sobre [matemática] t = 0 [/ matemática] utilizando el método de Frobenius

Answer 1

Supongo que debes haber tomado e ^ (- x) como t y haberlo sustituido.
Debes haber obtenido:
t * (1 – t) * y (2) – (1 – t / 2) * y (1) – y / t = 0 ;
donde y (n) representa la enésima derivada de y wrt t.
El siguiente paso consiste en tomar 1 / t como z. Luego obtendrá la ecuación en el formato de ecuación hipergeométrica.
z * (1 – z) * y (2) + (3/2 – z) * y (1) + y = 0 ;
donde y (n) representa la enésima derivada de y wrt z.

Ahora, espero que pueda resolver esto fácilmente para obtener la respuesta requerida. 🙂

PD: Hice esto con bastante prisa. Por lo tanto, verifique si hay errores en el cálculo o el signo. Además, mirando las sustituciones, creo que deberíamos sustituir e ^ x como t. Lo hice pero eso no funcionó para mí. Creo que debe ser otro error de mi parte. De todos modos, comente si no obtuvo algo. 🙂

Answer 2

[matemáticas] \ displaystyle {(1-e ^ x) y ” + \ frac {1} {2} y ‘+ e ^ xy = 0} \ qquad (1) [/ matemáticas]

Deje [math] \ displaystyle {t = e ^ x \ Rightarrow \ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} x} = e ^ x = t, \, x = \ mathrm {ln} t} [/matemáticas]. Entonces:
[matemáticas] \ displaystyle {y ‘= \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t} \ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} x} = t \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle {y ” = \ frac {\ mathrm {d} ^ 2y} {\ mathrm {d} t ^ 2} = \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ left (t \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t} \ right) = \ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} x} \ frac {\ mathrm {d } y} {\ mathrm {d} t} + t \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ left (\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t } \ right) = t \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t} + t ^ 2 \ frac {\ mathrm {d} ^ 2y} {\ mathrm {d} t ^ 2}} [/matemáticas]

Inserte esos en la ecuación (1) que tenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {2 (1-t) t ^ 2 \ frac {\ mathrm {d} ^ 2y} {\ mathrm {d} t ^ 2} + t (3 – 2t) \ frac {\ mathrm {d } y} {\ mathrm {d} t} + 2ty = 0} \ qquad (2) [/ math]

Dado que la ecuación (2) es una EDO homogénea lineal con coeficientes polinómicos. Deberíamos tratar de encontrar una solución particular en forma de [math] y_1 = at + b [/ math] donde [math] a, \, b [/ math] son ​​constantes para ser resueltos más adelante. Ahora tenemos:
[math] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} y_1} {\ mathrm {d} t} = a} [/ math] y [math] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ 2y_1} { \ mathrm {d} t} = 0} [/ math]

Inserte esos en la ecuación (2) para formar una identidad que es:
[matemáticas] \ displaystyle {en (3 – 2t) + 2t (en + b) \ equiv 0} [/ matemáticas]

Reorganizar los términos, obtenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {(3a + 2b) t \ equiv 0} [/ matemáticas]

Esta identidad se mantiene solo cuando [matemáticas] 3a + 2b = 0 [/ matemáticas]. Como solo estamos interesados ​​en una solución particular de la ecuación (2), por conveniencia, elegimos [matemática] a = 2 [/ matemática] y luego [matemática] b = -3 [/ matemática]. Por lo tanto, la solución particular es:
[matemáticas] y_1 = 2t – 3 [/ matemáticas]

Ahora encontramos otra solución particular de la ecuación (2) en forma de [matemáticas] y_2 = y_1 (t) u (t) = (2t-3) u [/ matemáticas]

Calcule estas derivadas con respecto a [math] t [/ math]
[matemáticas] y_2 ‘= 2u + (2t-3) u’ [/ matemáticas]
[matemática] y_2 ” = 2u ‘+ 2u’ + (2t – 3) u ” = 4u ‘+ (2t – 3) u’ ‘[/ matemática]

Inserte esos en (2) para obtener una ecuación de [matemáticas] u (t) [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ displaystyle {2 (1-t) t ^ 2 \ left (4u ‘+ (2t-3) u’ ‘\ right) + (3t -2t ^ 2) \ left (2u + (2t – 3) u ‘\ right) + 2t (2t-3) u = 0} [/ math]

Reorganizar nuevamente tenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {2 (1-t) t ^ 2 (2t-3) u ” + (8 (1 + t) t ^ 2 + t (3-2t) (2t-3)) u ‘= 0} [/ matemáticas]

Este es un ODE lineal homogéneo de primer orden que está listo para resolver. Podríamos considerar que obtenemos [math] u (t) [/ math]. Por lo tanto, la solución general de la ecuación (2) viene dada por:
[matemáticas] \ displaystyle {y = (C_1 + C_2u (t)) (2t – 3)} [/ matemáticas]
donde [math] C_1, \, C_2 [/ math] son ​​constantes

Como [math] t = e ^ x [/ math], la solución general de la ecuación (1) es:
[matemáticas] \ displaystyle {y = (C_1 + C_2u (e ^ x)) (2e ^ x – 3)} [/ matemáticas]
donde [math] C_1, \, C_2 [/ math] son ​​constantes