¿Cuál es la solución para: [matemáticas] \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} = – \ frac {k} {x ^ 2} [/ matemáticas]?

Answer 1

Deje que [math] v [/ math] sea la velocidad del cuerpo móvil que puede considerarse como un punto. Luego de las definiciones de velocidad y aceleración tenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {v = \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ quad (1) [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle {x ” = \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} \ quad (2) [/ math]
Además, aplicando la regla de la cadena para derivados, también tenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {x ” = \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t} = \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x} \ cdot \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} = v \ cdot \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x}} [/ math] debido a (1)
Así, la ecuación original puede reformularse como:
[matemáticas] \ displaystyle {v \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x} = – \ frac {k} {x ^ 2}} [/ math]
Por lo tanto:
[matemáticas] \ displaystyle {v \ mathrm {d} v = -k \ frac {\ mathrm {d} x} {x ^ 2}} [/ math]
Al integrar ambos lados de la ecuación, obtenemos:
[math] \ displaystyle {\ frac {v ^ 2} {2} = \ frac {k} {x} + C} [/ math] donde [math] C [/ math] es constante
En física, es posible suponer que la velocidad es cero a una distancia muy larga ([matemática] x = \ infty [/ matemática]) luego de la ecuación [matemática] C [/ matemática] debe ser cero. Y tenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {v ^ 2} {2} = \ frac {k} {x}} [/ matemáticas]
o
[matemáticas] \ displaystyle {v ^ 2 = \ frac {2k} {x}} [/ matemáticas]
Para simplificar un poco el problema, también es posible suponer [math] k, x> 0 [/ math] y luego:
[matemáticas] \ displaystyle {v = \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} = \ pm \ sqrt {\ frac {2k} {x}}} [/ math]
Solo podemos elegir el valor negativo de la velocidad debido al hecho de que la dirección de la velocidad del vector es la misma que la de la aceleración que se deduce negativamente de la ecuación original. Así que eso
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} = – \ sqrt {\ frac {2k} {x}}} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle {\ Rightarrow \ sqrt {x} \ mathrm {d} x = – \ sqrt {2k} \ mathrm {d} t} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle {\ Rightarrow \ frac {2} {3} x ^ {\ frac {3} {2}} = – \ sqrt {2k} t + K} [/ matemáticas] donde [matemáticas] K [/ matemáticas] es constante
Usando la condición inicial [math] x \ left | _ {t = 0} \ right. = D [/ math] para que:
[matemáticas] \ displaystyle {0 = – \ frac {2} {3} d ^ {\ frac {3} {2}} + K \ Rightarrow K = \ frac {2} {3} d ^ {\ frac {3 } {2}}} [/ matemáticas]
Por lo tanto:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {2} {3} x ^ {\ frac {3} {2}} = – \ sqrt {2k} t + \ frac {2} {3} d ^ {\ frac {3} {2}}} [/ matemáticas]
Finalmente:
[matemáticas] \ displaystyle {x = x (t) = \ left (- \ frac {3} {2} \ sqrt {2k} t + d ^ {\ frac {3} {2}} \ right) ^ {\ frac {2} {3}}} [/ matemáticas]
Y el tiempo para que el cuerpo supere la distancia [matemática] d [/ matemática] puede calcularse asignando el desplazamiento [matemática] x [/ matemática] con valor cero.
[matemáticas] x (t) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Rightarrow \ displaystyle {\ left (- \ frac {3} {2} \ sqrt {2k} t + d ^ {\ frac {3} {2}} \ right) ^ {\ frac {2} { 3}} = 0} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle {\ Rightarrow t = \ frac {2} {3} \ frac {d ^ {\ frac {3} {2}}} {\ sqrt {2k}}} [/ math]

Answer 2

Lhs es la aceleración de la partícula para que podamos escribirla como
V.dv / dx = -k / (x) ^ 2
Evalúe v (x), luego ponga v = dx / dt. E integre la ecuación en ambos lados, ponga los límites superior e inferior en consecuencia, obtendrá su respuesta.

Answer 3

Escriba la aceleración como dv / dt = v (dv / dx)
Así v dv = -k (dx / x ^ 2)
Entonces v = √ [2 (k / x + c)]
Ahora integre v usando métodos estándar.