¿Cuál es la solución de [math] \ nabla ^ 2 \ psi (r, \ theta, \ phi) = \ dfrac {\ sin ^ 2 (\ theta)} {r ^ 4} [/ math]?

Answer 1

Solo quería completar la respuesta dada por Siddhant Das usando las condiciones de contorno dadas.

Encontró una solución particular de la EDO en [math] f (\ theta) [/ math] obtenida de ansatz [math] \ psi (r, \ theta, \ phi) = f (\ theta) / r ^ 2 [ /matemáticas],
[matemáticas] f ” + f ‘\ cot \ theta + 2f = \ sin ^ 2 \ theta [/ matemáticas]
La solución particular que encontró fue
[matemática] f_p = \ frac {\ cos \ theta} {4} (\ cos \ theta – \ log \ cot \ theta / 2) [/ math]
Necesitamos obtener una solución que sea finita para todos [math] \ theta [/ math] para que coincida con la condición de límite que [math] \ psi [/ math] va a cero en el infinito. Hay dos constantes arbitrarias de la solución homogénea,
[matemáticas] f_h = c_1 \ cos \ theta + c_2 (\ cos \ theta \ log \ cot \ theta / 2 – 1) [/ matemáticas]
Evidentemente, podemos cancelar la parte infinita de [math] f_p [/ math] estableciendo [math] c_2 = – \ frac {1} {4} [/ math], que da
[matemáticas] f = \ frac {1} {4} (1 + \ cos ^ 2 \ theta) + c_1 \ cos \ theta [/ matemáticas]
La constante restante [matemática] c_1 [/ matemática] no se puede determinar a partir de las condiciones de contorno ya que [matemática] \ frac {\ cos \ theta} {r ^ 2} [/ matemática] es armónica y se define en todas partes, excepto el origen. Sin embargo, en una situación física ( es decir, donde [math] \ frac {\ sin ^ 2 \ theta} {r ^ 4} [/ math] representa una distribución de carga) debemos elegir el valor de [math] c_1 [/ math ] para que el potencial tenga la misma simetría que la fuente. La fuente es simétrica con respecto a una reflexión en el plano xy; la solución será si y solo si elegimos [math] c_1 = 0 [/ math] ya que el término [math] \ cos \ theta [/ math] es impar con respecto a esta reflexión y los otros términos son pares. Esto da la respuesta final,
[matemáticas] \ psi (r, \ theta, \ phi) = \ frac {1 + \ cos ^ 2 \ theta} {4r ^ 2} [/ matemáticas]

Answer 2

Trate de suponer que [math] \ psi (r, \ theta, \ phi) = f (r) g (\ theta) [/ math], expande laplacia esférica, “divide las variables”, es decir, reúne cada [math] r [ / math] y la función de [math] r [/ math] en el lado izquierdo, lo mismo para [math] \ theta [/ math] en el lado derecho. Por lo tanto, ambos deberían ser iguales a alguna C constante (la única forma posible para que las funciones de diferentes variables sean iguales) y luego resolver dos EDO. Por lo tanto, encontrará una solución para alguna función de [matemáticas] \ phi [/ matemáticas].

PD: No es la respuesta exacta a la pregunta, pero espero que siga siendo útil.

Answer 3

Se puede encontrar una respuesta independiente [matemática] \ phi [/ matemática] usando la separación de variables que Alexander Kostitsyn ha insinuado. Pero tenga en cuenta que la ecuación como tal no es separable. La función es:

[matemáticas] \ psi (r, \ theta, \ phi) = \ frac {\ cos \ theta} {4 {r ^ 2}} [\ cos \ theta – \ log (\ cot \ frac {\ theta} {2 })][/matemáticas]

Me di cuenta de que si mantiene la parte dependiente de r como [matemática] \ frac {1} {r ^ 2} [/ matemática] la dependencia [matemática] r [/ matemática] se cancela en ambos lados y la ecuación restante es un segundo ordene ODE homogénea en [math] \ theta [/ math] que afortunadamente es solucionable!

Por cierto, cualquier función lineal de [math] \ phi [/ math] puede multiplicarse a la solución anterior y el método seguirá siendo válido. Pero esto significaría que la solución [math] \ psi [/ math] no tiene un valor único en [math] \ phi = 0 (= 2 \ pi) [/ math].