Las ecuaciones diferenciales no lineales generalmente se analizan en lugar de resolverse y, si se resuelven, generalmente se realizan mediante métodos numéricos en lugar de explícitamente. Una técnica es el análisis de puntos fijos. Tome la siguiente ecuación no lineal de primer orden, por ejemplo:
[matemáticas] \ dot {x} = rx + x ^ 3 [/ matemáticas]
Donde r es un parámetro que podemos variar. x = 0 es un punto fijo porque la derivada es 0 y, por lo tanto, x es constante en ese punto. x = √-r es otro punto fijo. Sin embargo, este punto fijo solo existe con r <0. Así que tenemos tres puntos fijos cuando r <0 y solo uno cuando r ≥ 0. Llamamos r = 0 un punto de bifurcación , que es un punto en el cual, al variar nuestro libre parámetro, ya sea el número o la estabilidad de nuestros puntos fijos cambia.
Si miramos más de cerca nuestra ecuación, podemos ver que no solo cambia el número de puntos fijos sino también la estabilidad. cuando r> 0, desplazar x ligeramente de x = 0 nos dará una magnitud cada vez mayor de la tasa de cambio de x. Por lo tanto, x = 0 es inestable. Sin embargo, cuando r <0, x = 0 se convierte en un punto fijo estable. Cualquier desplazamiento de x lo suficientemente pequeño como para no alcanzar el segundo punto fijo volverá a x. Los otros dos puntos fijos, sin embargo, son inestables.
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A menudo, el análisis cualitativo es todo lo que se necesita. Un ejemplo de libro de texto común es la estabilidad de la población. Tienes, por ejemplo, una pesquería y quieres saber si la población se mantendrá estable. x = 0 es un punto fijo porque si no hay ningún pez, nunca lo habrá. Si x = 0 es estable a una tasa de pesca dada, entonces todos los peces se extinguirán a menos que cambiemos la tasa hasta que x = 0 se vuelva inestable o encuentre otro punto fijo. Si encontramos otro punto fijo, entonces no debería haber ningún problema siempre que la población de peces inicial esté por encima de este punto fijo. Tenga en cuenta que encontrar una solución explícita a nuestra ecuación (también puede notar que ni siquiera escribí una ecuación) no nos beneficiaría mucho ya que nuestra principal preocupación es la estabilidad de nuestros puntos fijos.
Antecedentes: Curso de ecuaciones diferenciales no lineales