¿Cuál es el significado de la independencia lineal? Educación te da un futuro mejor

Antes de presentar mi opinión sobre esto, quiero hacer algunos comentarios puntuales sobre partes de la declaración de la pregunta.

El primero es “Esto no está estrictamente relacionado con los vectores”. No estoy de acuerdo con esto, porque el concepto de “independencia lineal” se define en términos de espacios vectoriales, que son objetos que contienen vectores. Creo que lo que está llegando es que le gustaría saber qué significa para las funciones en lugar de los vectores, pero no creo que esa distinción sea muy útil. De hecho, generalmente puede pensar en la mayoría de los vectores (si no todos) como funciones. No se definen de esa manera porque no abstrae tan fácilmente, pero generalmente funciona y para muchas aplicaciones es la interpretación “correcta” o (en mi opinión) “más útil” (por ejemplo, al discretizar una función en finito elementos, tomando muestras finitas de una función continua). Por ejemplo, tome el vector [math] x = \ begin {bmatrix} 2 & 5 & 9 \ end {bmatrix} ^ T [/ math]. Esto tiene una correspondencia biunívoca con la función [matemáticas] x (i) = \ begin {cases} 2 & i = 1 \\ 5 & i = 2 \\ 9 & i = 3 \ end {cases}. [ /matemáticas]. Es decir, el índice del vector puede tratarse como el argumento de una función, por lo que no existe una distinción real. En cualquier caso, generalmente no hay problema al pensar que una función funciona como un vector, con la gran excepción de que cuando la mayoría de las personas hablan de “espacios de función” como espacios vectoriales, están hablando de espacios vectoriales de dimensiones infinitas. No toda la intuición de las dimensiones finitas se traslada a las dimensiones infinitas; de hecho, hay algunas diferencias muy importantes. Aún así, gran parte de la imagen geométrica con cosas básicas sobre combinaciones lineales es más o menos lo mismo. Por lo tanto, “visualizar” vectores como algo así como una línea dibujada desde el origen hasta un punto en el espacio también es algo bastante razonable para las funciones.

El otro comentario fue sobre “cuando dos o más funciones son linealmente independientes”. Hablando estrictamente, debe limitarse a hablar sobre un conjunto de funciones que son “linealmente independientes”. Puedes hablar de que “dos o más” funciones son linealmente independientes de alguna ecuación como la que tienes arriba, pero creo que confunde un poco las cosas. Simplemente puede considerar el caso en el que el conjunto de todas las funciones que está viendo es linealmente independiente, o no lo es.

Entonces, con mi introducción pedante fuera del camino, ya que creo que es razonable “visualizar” las funciones como vectores, puedes pensar en la independencia lineal de la misma manera que piensas en dimensiones finitas. Es decir, un conjunto de funciones lineales independientes puede considerarse como direcciones de ejes de coordenadas en el “plano”. Si un conjunto particular de funciones es linealmente independiente, entonces si observa el “plano” abarcado por cualquier subconjunto de esas funciones, los vectores restantes no se encontrarán en ese “plano”. La dependencia lineal del conjunto significa que esto no es cierto, es decir, puede tomar un subconjunto adecuado, mirar el “plano” que abarca, y los vectores restantes se encuentran en ese plano.

No conozco otra forma de interpretar intuitivamente la independencia lineal que sea específica de las funciones (¡aunque me encantaría saber si existe!). Lo mejor que puedes hacer para tener una mejor idea de esto, probablemente, es considerar algunos ejemplos. Los dos que me vienen a la mente de inmediato son conjuntos de sinusoides de distintas frecuencias y conjuntos de monomios de diferentes poderes. Eso sugiere que podría pensar que la “independencia lineal” para las funciones tiene algo que ver con diferentes “tasas de cambio” en las funciones, pero esta es una conjetura completa de mi parte, y no estoy seguro de que sea una idea útil, incluso si eran “mayormente” verdaderas.

Al final, la importancia de la independencia lineal es que puede representar de manera única a los miembros del tramo de ese conjunto en términos de ese conjunto en sí. Una de las principales razones por las que esto es importante es que es el punto de partida para las coordenadas, que es de fundamental importancia cuando se traducen ideas algebraicas lineales a formas concretas que son prácticas para el cálculo / aproximación.