Cómo encontrar los valores de K que hacen que una solución de ecuación diferencial sea estable

Answer 1

Para una ecuación como esta, con derivadas de y y coeficientes constantes, intentaría una solución de la forma [math] y = e ^ {at} [/ math], donde a es alguna constante que se determinará.

[matemáticas] y ‘= ae ^ {at} [/ matemáticas]
[matemáticas] y ^ {(2)} = a ^ 2e ^ {at} [/ matemáticas]
[matemáticas] y ^ {(3)} = a ^ 3e ^ {at} [/ matemáticas]

Introduce eso, obtienes:
[matemáticas] (a ^ 3 + ka ^ 2 + 3ka + 2) e ^ {at} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {at}> 0 \ para todos los t [/ matemáticas]
Entonces eso significa que:
[matemáticas] (a ^ 3 + ka ^ 2 + 3ka + 2) = 0 [/ matemáticas]
O [matemáticas] a ^ 3 + k (a ^ 2 + 3a) + 2 = 0 [/ matemáticas]

Resolver ese cúbico para a te da las constantes para el exponencial.
En términos de estabilidad, supongo que te refieres a
[matemáticas] t \ rightarrow \ infty [/ matemáticas]

Entonces, para eso, aparentemente querrías Re (a) <0.
Para a real, esto es para obtener un exponencial negativo, que decae como
[matemáticas] t \ rightarrow \ infty [/ matemáticas]
Para el complejo a, desea Re (a) <0 porque las soluciones serán un exponencial multiplicado por un seno / coseno, con Re (a) dando forma al exponencial e Im (a) el seno / coseno.

Estoy dibujando un espacio en blanco para el último bit, cómo mostrar qué valores de k darán Re (a) <0.

¿Quizás alguien más pueda recoger el resto?

Answer 2

Hay algunas correcciones / aclaraciones menores que sugeriría a su pregunta. Primero, el simple hecho de tener raíces complejas no garantiza que su solución sea estable: también debe tener partes reales no positivas de esas soluciones complejas. Segundo, también depende de lo que quieras decir con “estable”. Si quiere decir asintóticamente estable, entonces necesita raíces reales negativas (o partes reales negativas de raíces complejas), pero algunas definiciones de estable incluyen cosas como oscilaciones estables, en cuyo caso 0 parte real también puede funcionar. Énfasis en “puede” allí: si tiene raíces repetidas de 0, aún puede tener inestabilidades.

Con eso fuera del camino, esta es una pregunta sobre la especificación de las raíces de una ecuación polinómica. Asumiré que esto significa que no solo quieres una solución estable, sino que no quieres ninguna solución inestable (es decir, quieres todas las raíces negativas / no positivas, no solo algunas). Diría que encontrar estas raíces depende de lo que quiere decir con la ecuación diferencial “como” esta y para qué está resolviendo esto. Si por “me gusta” te refieres al orden 3 e inferior, entonces hay fórmulas explícitas para las raíces de los polinomios que puedes usar (de hecho, polinomios hasta el orden cuatro, aunque creo que estas fórmulas se vuelven realmente difíciles de manejar después del cuadrático). Si solo necesita soluciones aproximadas para esto (es decir, no necesita todo el conjunto de [matemáticas] K [/ matemáticas] para las que existen soluciones estables) y si algunos coeficientes son mucho más grandes que otros, a veces puede usar técnicas desde análisis complejos para especificar discos donde se encuentran las soluciones. Si puede asegurarse de que esos discos estén completamente en el plano real negativo (o no positivo), puede garantizar la estabilidad asintótica.

Creo que la mejor manera de tratar un problema general como este (si está disponible para usted) es escribir un programa para resolver numéricamente los valores apropiados de [math] K [/ math]. De lo contrario, creo que deberá tener en cuenta el problema específico.

Answer 3

Siento que las respuestas de todos los demás aquí dadas son correctas / sensatas.

Por lo tanto, daré solo mis dos centavos sobre el enfoque que tomaría; no hice cálculos reales, por lo tanto, es posible que solo desee hacerlo para ver si lo que digo realmente funciona.

Primero, simplemente reescribiría toda la EDO en una EDO de primer orden (es decir, simplemente introduciendo una nueva función ([matemática] z_1 = y ‘, z_2 = z_1’, z_3 = z_2 ‘[/ matemática]) y teniendo así el problema en un espacio dimensional superior.

Luego puede escribir el ODE completo en forma de matriz (algo así como [math] x ‘= Ax [/ math] donde [math] x = (y, z_1, z_2, z_3) [/ math]).

A partir de ahí, tomaría un criterio que básicamente dice que la EDO es estable si los valores propios de A no tienen una parte real positiva. Y luego es solo informática.

(Supongo que la respuesta que obtiene con este enfoque es similar a la descrita por Michael, sin embargo, como dije antes, no hice el cálculo;))

Answer 4

Lo que necesita es el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz. Para una ecuación cúbica, se lee como:

• Para un polinomio de tercer orden , todos los coeficientes deben satisfacer y

Answer 5

Creo que las otras personas han proporcionado mejores respuestas. Sin embargo, si intenta resolver el polinomio, la expresión no parece demasiado amable para obtener una condición directa hacia adelante.

resolver x ^ 3 – kx ^ 2 + 3kx + 2 = 0 – Wolfram | Alpha

Answer 6

Este es un DE lineal, así que primero resuelve: w ^ 3 + kw ^ 2 + 3kw + 2 = 0.
Hay muchos libros sobre qué hacer a continuación, pero es posible que desee estudiar:

Ecuación diferencial lineal
Teoría de la estabilidad