Cómo calcular un ángulo entre dos lados de un triángulo dadas las coordenadas de vértices usando vectores

Answer 1

Supongamos que un triángulo tiene vértices en [matemáticas] x_1, x_2, x_3 [/ matemáticas]. (Estos representan vectores en [math] \ mathbb R ^ n [/ math] para cualquier dimensión finita, [math] n [/ math].)

Suponga que desea encontrar el ángulo, [matemática] \ theta [/ matemática], entre los vértices de conexión laterales 1 y 2 y los vértices de conexión laterales 1 y 3.

Paso 1: Sea [math] y_2 = x_2 – x_1 [/ math] y [math] y_3 = x_3 – x_1 [/ math].
Paso 2: Deje [math] u_2 = \ frac {y_2} {\ sqrt {y_2 \ cdot y_2}} [/ math] y [math] u_3 = \ frac {y_3} {\ sqrt {y_3 \ cdot y_3}} [ /matemáticas]
Paso 3: Deje [math] \ theta = \ arccos (u_2 \ cdot u_3) [/ math].

Detalles:

1. [math] a \ cdot b [/ math] es el producto punto habitual de dos vectores. (es decir, la suma de los productos de coordenadas correspondientes)
2. El primer paso crea vectores para los lados del triángulo
3. El paso dos convierte esos vectores en vectores unitarios
4. El paso 3 usa la relación de que el producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus longitudes multiplicado por el coseno del ángulo entre ellos. Como los dos vectores tienen una unidad de longitud (del paso 2), el ángulo debe ser el arcocoseno del producto escalar.
5. En el paso 3, asegúrese de usar la versión del arcocoseno que le da un ángulo en radianes entre cero y pi. (Los ángulos negativos y los ángulos mayores que pi no hacen mucho ya que para los triángulos). Afortunadamente, la implementación habitual del arcocoseno produce tal salida.

Answer 2

Haga nuevos vectores sumando / restando apropiadamente combos de x1, x2 y x3 y luego realice el producto punto. Echa un vistazo al siguiente enlace:

Producto de punto