¿Cómo integraría [math] \ displaystyle \ int (\ cos {x} + \ sin {x}) ^ 2 (\ cos {x} – \ sin {x}) \, \ mathrm {d} x [/ math ]?

Evaluar:

[matemática] \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ int (\ cos x + \ sin x) ^ 2 (\ cos x – \ sin x) \, dx [/ math]

Kyle Fitzgerald ya ha hecho que esta integral sea muy simple.

[math] \ large \ displaystyle \ star [/ math] Intentaré tomar otra ruta ( puede ser un poco más larga).
¿Existe una función inversa para [math] \ sec ^ 2 {\ theta} [/ math]?
¿Cómo podemos convertir el pecado (theta) en todas las demás proporciones trigonométricas?
Dado un triángulo con lados desiguales, si P es el conjunto de todos los puntos que son equidistantes de B y C, y Q es el conjunto de todos los puntos que son equidistantes de los lados AB y AC, entonces, ¿cuál es la intersección P con Q igual a ?
¿Cómo se prueba que (sin ^ 3 (x) -cos ^ 3 (x)) / (sin (x) + cos (x)) = (cosex ^ 2 (x) -2cos ^ 2 (x) -cot ( x)) / (1-cot ^ 2x)?
Dado que cos y sin son proporcionales antes de cierto punto, ¿hay algún cálculo (no la razón) para obtener la salida?

¡Tener paciencia!

[matemáticas] \ large \ displaystyle \ implica I = \ large \ displaystyle \ int (\ cos ^ 2 x + \ sin ^ 2 x + 2 \ sin x \ cos x) (\ cos x – \ sin x) \, dx [/matemáticas]

[math] \ large \ displaystyle \ implica I = \ large \ displaystyle \ int (1 + 2 \ sin x \ cos x) (\ cos x – \ sin x) \, dx [/ math]

[matemáticas] \ large \ displaystyle \ implica I = \ large \ displaystyle \ int \ cos x – \ sin x + 2 \ sin x \ cos ^ 2 x – 2 \ sin ^ 2 x \ cos x \, dx [/ math ]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica I = \ displaystyle \ int \ cos x \, dx – \ int \ sin x \, dx + 2 \ int \ sin x \ cos ^ 2 x \, dx – 2 \ int \ sin ^ 2 x \ cos x \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica I = \ displaystyle \ sin x – (- \ cos x) + 2 \ displaystyle \ underbrace {\ int \ sin x \ cos ^ 2 x \, dx} _ {I_1} – 2 \ displaystyle \ underbrace {\ int \ sin ^ 2 x \ cos x \, dx} _ {I_2} [/ math]

Veamos [math] \ large \ displaystyle I_1 [/ math] y [math] \ large \ displaystyle I_2 [/ math] :

[matemáticas] \ large \ displaystyle I_1 = \ large \ displaystyle \ int \ sin x \ cos ^ 2 x \, dx [/ math]

Sustituya [math] \ large \ displaystyle \ cos x = \ large \ displaystyle t [/ math]

[math] \ implica \ large \ displaystyle – \ sin x dx = \ large \ displaystyle dt [/ math]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle I_1 = \ large \ displaystyle – \ int t ^ 2 \, dt [/ math]

[math] \ implica \ large \ displaystyle I_1 = \ large \ displaystyle – \ frac {t ^ 3} {3} + c_1 [/ math]

Convierte en variable original.

[math] \ implica \ large \ displaystyle \ boxed {I_1 = \ large \ displaystyle – \ frac {\ cos ^ 3 x} {3} + c_1} [/ math]

Ahora, considere:

[matemáticas] \ large \ displaystyle I_2 = \ large \ displaystyle \ int \ sin ^ 2 x \ cos x \, dx [/ math]

Sustituya [math] \ large \ displaystyle \ sin x = \ large \ displaystyle t [/ math]

[math] \ implica \ large \ displaystyle \ cos x dx = \ large \ displaystyle dt [/ math]

[math] \ implica \ large \ displaystyle I_2 = \ large \ displaystyle \ int t ^ 2 \, dt [/ math]

[math] \ implica \ large \ displaystyle I_2 = \ large \ displaystyle \ frac {t ^ 3} {3} + c_2 [/ math]

Convierte en variable original.

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle \ boxed {I_2 = \ large \ displaystyle \ frac {\ sin ^ 3 x} {3} + c_2} [/ math]

Conecte [math] \ large \ displaystyle I_1 [/ math] y [math] \ large \ displaystyle I_2 [/ math] en [math] \ large \ displaystyle I [/ math]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ sin x + \ cos x – \ frac {2 \ cos ^ 3 x} {3} – \ frac {2 \ sin ^ 3 x} {3} + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ sin x + \ cos x – \ frac {2} {3} (\ cos ^ 3 x + \ sin ^ 3 x) + C [/ math]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle I = \ displaystyle \ sin x + \ cos x – \ frac {2} {3} (\ cos x + \ sin x) (\ cos ^ 2 x – \ sin x \ cos x + \ cos ^ 2 x) + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle (\ sin x + \ cos x) \ left [1 – \ frac {2} {3} (1 – \ sin x \ cos x) \ right] + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle (\ sin x + \ cos x) \ left [1 – \ frac {2} {3} + \ frac {2} {3} \ sin x \ cos x \ right] + C [/ math]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle (\ sin x + \ cos x) \ left [\ frac {1} {3} + \ frac {2} {3} \ sin x \ cos x \ right] + C [/ math]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ frac {1} {3} (\ sin x + \ cos x) (1 + 2 \ sin x \ cos x) + C [/ math]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ frac {1} {3} (\ sin x + \ cos x) (\ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x + 2 \ sin x \ cos x) + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ frac {1} {3} (\ sin x + \ cos x) (\ sin x + \ cos x) ^ 2 + C [/ math]

[matemáticas] \ implica \ huge \ displaystyle \ boxed {\ boxed {\ huge \ displaystyle I = \ huge \ displaystyle \ boxed {\ frac {1} {3} (\ sin x + \ cos x) ^ 3 + C} }}[/matemáticas]

Volver al punto de partida !!

[matemáticas] {\ Enorme {\ Enorme {\ displaystyle \ ddot \ smile}}} [/ matemática]

Si [matemáticas] 2 \ tan (A) = 3 \ tan (B) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ tan (AB) = \ frac {\ sin (2B)} {k – \ cos (2B)} [ / matemáticas], entonces, ¿cuál es el valor de k?

Un cuadrado del área más grande posible está circunscrito por el triángulo rectángulo ABC de tal manera que uno de sus lados yace en la hipotenusa del triángulo. ¿Cuál es el área del cuadrado?

2 sen theta = 2-cos theta. ¿Cuál es el valor del pecado theta?

¿Cuál es la solución general de la ecuación: [matemáticas] \ tan ^ 2 \ theta + 2 \ sqrt {3} \ tan \ theta = 1? \\ (a) \ theta = \ dfrac {\ pi} {2} \\ (b) \ theta = \ left (n + \ dfrac {1} {2} \ right) \ pi \\ (c) \ theta = (6n + 1) \ dfrac {\ pi} {12} \\ (d) \ theta = n \ dfrac {\ pi} {12} [/ math]

¿Existe una función inversa para [math] \ sec ^ 2 {\ theta} [/ math]?

¿Cómo se integra [math] \ dfrac {\ cos (x) + \ sin (x)} {\ cos (x) – \ sin (x)} [/ math] con respecto a [math] x [/ math] ?

¿Cómo integraría (cosx + sinx) ² (cosx-sinx) wrt x?

Reescribe la función como [matemáticas] \ cos ^ 3 (x) – \ sin ^ 3 (x) + \ cos ^ 2 (x) \ sin (x) – \ sin ^ 2 (x) \ cos (x) [/ matemáticas]. Luego escriba [math] \ cos ^ 3 (x) = (1- \ sin ^ 2 (x)) \ cos (x) [/ math] y use una sustitución similar para [math] \ sin ^ 3 (x) [ /matemáticas]. Entonces cada término puede integrarse de inmediato. Por ejemplo, la integral de [matemática] \ cos ^ 2 (x) \ sin (x) [/ matemática] es – [matemática] \ frac {\ cos ^ 3 (x)} {3} [/ matemática].

Bhupendra Charan

Todo lo que necesita es una simple sustitución.

[matemáticas] \ displaystyle \ mathrm {Let} \, u = \ cos {x} + \ sin {x}, \ mathrm {d} u = \ cos {x} – \ sin {x} \, \ mathrm {d } x \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ left (\ cos {x} + \ sin {x} \ right) ^ 2 \ left (\ cos {x} – \ sin {x} \ right) \ mathrm {d} x \ etiqueta * {} [/ math]

[math] \ displaystyle = \ int u ^ 2 \ mathrm {d} u \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {u ^ 3} {3} + C \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {3} {\ left (\ cos {x} + \ sin {x} \ right)} ^ 3 + C \ tag * {} [/ math]

Pramanik Patel

Para mí, me daría cuenta de que [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ cos (x) + \ sin (x) = – \ sin (x) + \ cos (x) = \ cos (x) – \ sin (x) [/ matemáticas]

Luego usaría la sustitución: [math] u = \ cos (x) + \ sin (x), \ quad du = \ cos (x) – \ sin (x) dx [/ math]

Nuestra integral que originalmente estaba en x ahora se convierte en una integral en u.

[matemáticas] \ int (\ cos x + \ sin (x)) ^ 2 (\ cos (x) – \ sin (x)) dx [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ int u ^ 2 du = \ frac {u ^ 3} {3} = \ frac {1} {3} (\ cos (x) + \ sin (x)) ^ 3 + C [/ matemáticas ]

Bhupendra Charan

[matemáticas] (cos (x) + sin (x)) (cos (x) – sin (x)) (cos (x) + sin (x)) [/ matemáticas]

[matemáticas] (cos ^ {2} (x) – sin ^ {2} (x)) (cos (x) + sin (x)) [/ matemáticas]

[matemáticas] cos (2x) cos (x) + cos (2x) sin (x) [/ matemáticas]

Aplicar las siguientes propiedades y simplificar la ecuación anterior

[matemáticas] cos (A) + cos (B) = 2 cos (\ frac {A + B} {2}) cos (\ frac {A – B} {2}) [/ matemáticas]
[matemática] sin (A) + sin (B) = 2 sin (\ frac {A + B} {2}) cos (\ frac {A – B} {2}) [/ math]

Pramanik Patel

[matemáticas] \ begin {align *} \ int \ left (\ cos x + \ sin x \ right) ^ {2} \ left (\ cos x – \ sin x \ right) \ mbox {} dx & = \ int \ left (\ cos x + \ sin x \ right) \ left (\ cos x + \ sin x \ right) \ left (\ cos x – \ sin x \ right) \ mbox {} dx \\ & = \ int \ sqrt {2} \ sin \ left (x + \ dfrac {\ pi} {4} \ right) \ left (\ cos ^ {2} x- \ sin ^ {2} x \ right) \ mbox {} dx \\ & = \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ int 2 \ sin \ left (x + \ dfrac {\ pi} {4} \ right) \ cos 2x \ mbox {} dx \\ & = \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ int \ sin \ left (3x + \ dfrac {\ pi} {4} \ right) + \ sin \ left (\ dfrac {\ pi} {4} -x \ right) \ mbox {} dx \\ & = – \ dfrac {\ sqrt {2}} {6} \ left (\ cos \ left (3x + \ dfrac {\ pi} {4} \ right) – 3 \ cos \ left (\ dfrac {\ pi} {4} -x \ right) \ right) + c \ end {align *} [/ math]

Bhupendra Charan

[matemáticas] \ displaystyle \ int (\ cos x + \ sin x) ^ 2 (\ cos x- \ sin x) \ text dx \ tag * {} [/ matemáticas]

Por sustitución

[matemáticas] \ displaystyle u = (\ cos x + \ sin x) \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ text du = (- \ sin x + \ cos x) \ text dx \ iff \ text du = (\ cos x – \ sin x) \ text dx \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int (\ cos x + \ sin x) ^ 2 (\ cos x- \ sin x) \ text dx = \ int u ^ 2 \ text du \ iff \ int u ^ 2 \ text du = \ frac {1} {3} u ^ 3 + c \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int u ^ 2 \ text du = \ frac {1} {3} u ^ 3 + c \ iff \ frac {1} {3} u ^ 3 + c = \ frac {1} {3 } (\ cos x + \ sin x) ^ 3 + c \ tag * {} [/ math]

Es bueno poder ver algo que está algo relacionado con la regla de la cadena

[matemáticas] \ displaystyle \ int f ‘(x) G’ [f (x)] = G [f (x)] + c \ tag * {} [/ matemáticas]

Justin Chenvanich

Todas las demás respuestas sobre este problema aquí son absolutamente perfectas y algunas son extremadamente elegantes (como la respuesta de Kyle Fitzgerald). Solo estoy tratando de resolver esta con un enfoque diferente.

[matemáticas] \ displaystyle \ int (\ cos {x} + \ sin {x}) ^ 2 (\ cos {x} – \ sin {x}) \, \ mathrm {d} x = \ displaystyle \ int (\ cos {x} + \ sin {x}) (\ cos ^ {2} {x} – \ sin ^ {2} {x}) \, \ mathrm {d} x = \ displaystyle \ int (\ cos {x } + \ sin {x}) (\ cos {2x}) \, \ mathrm {d} x = \ displaystyle \ int \ cos x \ cos 2x \ mathrm dx + \ displaystyle \ int \ sin x \ cos 2x \ mathrm dx = \ displaystyle \ int \ dfrac {\ cos 3x} {2} + \ displaystyle \ int \ dfrac {\ cos x} {2} + \ displaystyle \ int \ dfrac {\ sin 3x} {2} + \ displaystyle \ int \ dfrac {\ sin x} {2} = \ dfrac {(\ sin 3x- \ cos 3x)} {6} + \ dfrac {(\ sin x- \ cos x)} {2} + \ text {constante de integración }[/matemáticas]

Edición 1: [matemática] 2 \ sin A \ cos B = \ sin (A + B) + \ sin (AB) [/ matemática]

[matemáticas] 2 \ cos A \ cos B = \ cos (A + B) + \ cos (AB) [/ matemáticas]

Justin Chenvanich

simplemente colóquelo en formato [math] \ int f (g (x)) \ cdot g ‘(x) \, dx [/ math].

[matemáticas] f (x) = x ^ 2, g (x) = \ cos x + \ sin x, g ‘(x) = \ cos x- \ sin x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int u ^ 2 \, du = \ frac {x ^ 3} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int (\ cos x + \ sin x) ^ 2 (\ cos x- \ sin x) \, dx = \ frac {(\ cos x + \ sin x) ^ 3} {3} [/ matemáticas]

Bhupendra Charan

Puedes tomar

cosx + sinx = y entonces es la forma de

Integral [(x ^ 2) dx]

Bhupendra Charan