Dado un triángulo con lados desiguales, si P es el conjunto de todos los puntos que son equidistantes de B y C, y Q es el conjunto de todos los puntos que son equidistantes de los lados AB y AC, entonces, ¿cuál es la intersección P con Q igual a ?

Answer 1

DADO: Un triángulo escaleno ABC.

P es un conjunto de puntos que son equidistantes del punto B y el punto C

=> Cada punto, perteneciente al Conjunto P se encuentra en la bisectriz perpendicular de BC. Esta bisectriz perpendicular puede extenderse hasta el infinito.

=> cardinal (Conjunto P) = elementos infinitos

Ahora, dado ese conjunto Q, contiene elementos, equidistantes del lado AB y AC. Por lo tanto, el lugar geométrico de Q será la bisectriz angular de <A. (como sabemos, el incentivo I es equidistante de los 3 lados AB, AC y BC)

Entonces, cada punto de ángulo bisectriz de <A, será equidistante de AB y AC.

Entonces, cardinal (Conjunto Q) = elementos infinitos

PARA ENCONTRAR: P n Q =? O, intersección P Q =? es decir, el elemento común al Conjunto P y al Conjunto Q ambos =?

Entonces, el elemento común (punto) es el punto de intersección de la bisectriz perpendicular de BC y la bisectriz de ángulo de <A

=> P n Q = el punto de intersección de la bisectriz perpendicular de BC y la bisectriz de ángulo de <A

Por lo tanto, cardinal (P n Q) = 1

Si el triángulo hubiera sido un triángulo isósceles, con AB = AC o un triángulo equilátero. Entonces, la bisectriz de ángulo y la bisectriz perpendicular mencionadas anteriormente coincidirían. Y en ese caso, n (P n Q) sería infinito.

Answer 2

Dado un triángulo ABC con lados desiguales. P es el conjunto de todos los puntos que son equidistantes de B y C y Q es el conjunto de todos los puntos que son equidistantes de AB [matemática] [/ matemática] y AC [matemática] [/ matemática], luego encuentra n (P∩ Q)

El conjunto de puntos equidistantes del punto B y el punto C es una línea. Pero el conjunto de puntos equidistantes de la línea ABa y la línea AC no es una línea. Es la unión de dos líneas: las bisectrices de los dos ángulos formados por AB [matemática] [/ matemática] y AC [matemática] [/ matemática]

Entonces P intersecta cada una de las líneas en Q una vez, para un total de dos intersecciones.

(Necesitamos saber que AB ≠ AC, de lo contrario el triángulo es isósceles, y la bisectriz perpendicular P [matemática] [/ matemática] se superpone con una de las bisectrices angulares en Q [matemática] [/ matemática].

Answer 3

El conjunto P se puede dar como todos los puntos en la bisectriz perpendicular de la línea BC

El conjunto Q se puede dar como todos los puntos en la bisectriz de ángulo de [matemáticas] \ ángulo A [/ matemáticas]

La intersección del conjunto P y el conjunto Q se puede encontrar resolviendo la ecuación de las dos líneas.

Y como sabemos que el triángulo tiene lados desiguales, es decir, no es un isósceles ni un triángulo equilátero, la bisectriz perpendicular de la línea BC y la bisectriz angular de [matemáticas] \ ángulo A [/ matemáticas] solo se intersecarán en un punto ine.