¿Cuál es el valor de [math] \ sin {1 ^ \ circ} [/ math]?

Answer 1

Como se mencionó en las otras respuestas, tenemos:

[matemáticas] \ displaystyle {\ sin (1 {} ^ {\ circ}) = \ sin \ left (\ frac {\ pi} {180} \ right) rad} [/ math]

Una forma de encontrar el valor numérico de [matemática] \ displaystyle {\ sin (1 {} ^ {\ circ})} [/ matemática] a [matemática] 1000 [/ matemática] dígitos decimales es escribiendo el código de Mathematica:

  N [Pecado [1 grado], 1000]

El valor numérico del seno de [matemáticas] 1 [/ matemáticas] grado es igual a:

0.

Se puede usar la fórmula de expansión en serie de la función seno:

[matemáticas] \ displaystyle {\ sin (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ nx ^ {2 n + 1}} {(2 n + 1)! }}[/matemáticas]

Escribiendo el código de Mathematica:

  N [Suma [((- 1) ^ n * x ^ (2 * n + 1)) / (2 * n + 1) !, {n, 0, Infinito}] /. 
   x -> Pi / 180, 1000]

produce la misma solución numérica que la anterior para [matemática] 1000 [/ matemática] dígitos decimales.

También se puede utilizar otra expansión en serie de la función seno en términos de la función Bessel del primer tipo:

[matemáticas] \ displaystyle {\ sin (x) = 2 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ k J_ {2 k + 1} (x)} [/ math]

El valor numérico de [matemática] m [/ matemática] dígitos decimales (donde [matemática] m [/ matemática] es un entero positivo) se puede obtener escribiendo:

  N [2 * Suma [(- 1) ^ k * BesselJ [1 + 2 * k, x], {k, 0, Infinito}] /. 
   x -> Pi / 180, m]

A continuación se muestra la forma de fracción continua de [math] \ displaystyle {\ sin (1 {} ^ {\ circ})} [/ math], que es igual a:

Answer 2

El valor de [math] \ sin 1 ^ \ circ [/ math] es la raíz positiva más pequeña del polinomio [math] T_ {360} (x) -1 [/ math], donde [math] T_n (x) [ / math] es el [math] n ^ \ textrm {th} [/ math] polinomio de Chebyshev del primer tipo.

De hecho, las soluciones 360 de la ecuación [matemáticas] T_ {360} (x) = 1 [/ matemáticas] son ​​precisamente los valores de

[matemáticas] \ cos 1 ^ \ circ, \ cos 2 ^ \ circ, \ cos 3 ^ \ circ, \ ldots, \ cos 359 ^ \ circ, \ cos 360 ^ \ circ. [/ matemáticas]

Dado que [math] \ cos 89 ^ \ circ = \ sin 1 ^ \ circ [/ math], y [math] \ cos 89 ^ \ circ [/ math] resulta ser el número positivo más pequeño de todos los números enumerados anteriormente , esta definición funciona.

En general, las raíces [matemáticas] n [/ matemáticas] de [matemáticas] T_n (x) -1 [/ matemáticas] son: el coseno de [matemáticas] \ dfrac {360} {n} ^ \ circ [/ matemáticas] , el coseno de dos veces este ángulo, el coseno de tres veces este ángulo, y así sucesivamente hasta que termine con el coseno de [matemáticas] n [/ matemáticas] veces este ángulo, que es [matemáticas] \ cos 360 ^ \ circ = 1 [/ matemáticas]. La razón por la que esto funciona es sustituyendo [math] \ theta = \ dfrac {360} {n} [/ math] en la hermosa relación

[matemáticas] T_n (\ cos \ theta) = \ cos n \ theta. [/ matemáticas]

Answer 3

De acuerdo con la Ley de ángulos pequeños, para valores pequeños de x,

[matemáticas] \ sen x \ aprox x [/ matemáticas]

cuando x está en radianes.

1 grado en radianes es [matemática] \ frac {\ pi} {180} \ aprox 0.01745329251 [/ matemática]

Esta estimación del seno de 1 grado tiene una precisión de cinco decimales.

Answer 4

La respuesta de Frank Wei es tan precisa como la que vas a obtener. Sin embargo, si no tiene Mathematica o Maple pero aún necesita muchos dígitos de precisión, una expansión Taylor puede ser útil.

Recordemos que la expansión de Taylor de [matemáticas] \ sin {x} [/ matemáticas] alrededor de [matemáticas] 0 [/ matemáticas] (porque sabemos que [matemáticas] \ sin {1 ^ {\ circ}} [/ matemáticas] estar cerca de [matemáticas] 0 [/ matemáticas]) es el siguiente:

[matemáticas] \ displaystyle \ sin {x} = x- \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} – \ frac {x ^ 7} {7!} +… = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ nx ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!} [/ math]

Las primeras sumas para [matemáticas] x = \ frac {\ pi} {180} [/ matemáticas] son:

[matemáticas] T_1 = 0.0174532925… [/ matemáticas]

[matemáticas] T_2 = 0.0174524064… [/ matemáticas]

[matemáticas] T_3 = 0.0174524064… [/ matemáticas]

Esto converge claramente a muchos decimales de precisión rápidamente. También podemos ver que la aproximación simple [matemática] \ sin {x} \ aprox x [/ matemática] es bastante buena.

Answer 5

El valor de [math] \ sin 1 [/ math] será la raíz del cúbico

[matemáticas] \ displaystyle x ^ 3- \ tfrac 34x + \ alpha = 0 \ tag {1} [/ matemáticas]

Dónde

[matemáticas] \ displaystyle \ alpha = \ frac {\ sqrt {5} -1- \ sqrt {3} \ bigr (1- \ sqrt {5} \ bigr) + \ bigr (1- \ sqrt {3} \ bigr ) \ sqrt {10 + 2 \ sqrt {5}}} {32 \ sqrt {2}} \ tag {2} [/ math]

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Esto puede deducirse recordando que

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} & \ sin 18 = \ frac {\ sqrt {5} -1} 4 \\ & \ sin 15 = \ frac {\ sqrt {3} -1} {2 \ sqrt {2}} \\ & \ cos 18 = \ frac {\ sqrt {5+ \ sqrt {5}}} {2 \ sqrt {2}} \\ & \ cos 15 = \ frac {\ sqrt {3} + 1} {2 \ sqrt {2}} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Y luego usando la identidad

[matemáticas] \ displaystyle \ sin ^ 3 \ theta- \ tfrac 34 \ sin \ theta + \ tfrac 14 \ sin 3 \ theta = 0 \ tag * {} [/ matemáticas]

teóricamente podemos encontrar [math] \ sin 1 [/ math]. Para encontrar qué es [math] \ sin 3 [/ math], primero usamos la identidad de suma de seno en nuestros valores anteriores para obtener

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} \ sin (18-15) = \ sin 3 & = \ left (\ frac {\ sqrt {5} -1} 4 \ right) \ left (\ frac {\ sqrt {3} +1} {2 \ sqrt {2}} \ right) – \ left (\ frac {\ sqrt {3} -1} {2 \ sqrt {2}} \ right) \ left (\ frac {\ sqrt {5+ \ sqrt {5}}} {2 \ sqrt {2}} \ right) \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

De lo cual, el cúbico sigue después.

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El cúbico no tiene una buena solución. Lo intenté con Mathematica .

Answer 6

Tenemos números algebraicos para todos los múltiplos de 3 grados. 0,3,6,9, … esos son los ángulos conocidos de forma exactamente cerrada. Esto es cierto porque tenemos valores algebraicos para sin (72) y sin (60) y una fórmula para sin (ab) y sin (x / 2). 12 grados se pueden reducir a la mitad dos veces para pecar (3). Allí se detiene, la tripartición de ángulos solo es posible para ángulos muy específicos como 90 grados. 3 grados no es una de estas raras excepciones.

Answer 7

[matemáticas] \ sin {\ frac {\ pi} {180}} = – \ dfrac {1} {2} (- 1) ^ {\ frac {89} {180}} (- 1 + \ sqrt [180] {-1}) (1 + \ sqrt [180] {- 1}) [/ math]

Cortesía de Wolfram .

Lo cual es (no tanto) sorprendentemente real y aproximadamente [matemático] 0.017 [/ matemático]

Supongo que puede haberlo calculado con fórmulas de suma de arco inversa de alto nivel, lo que significa funciones anidadas o compuestas para [matemáticas] \ sin [/ matemáticas] y [matemáticas] \ cos [/ matemáticas] de argumentos polinomiales de primer grado.

Un tema que puede ayudarlo a simplificar las fórmulas altamente redundantes y enormes que encontrará si intenta hacer esto manualmente, es polinomios extendidos.

Sin embargo, teniendo en cuenta que Wolfram se refiere a raíces de menos unidad, puede haber utilizado algunas técnicas más sofisticadas del análisis.

Answer 8

Aquí hay una azada para resolverlo por ti mismo Encontrar el seno de 1 grado.