¿Cómo se integra [math] \ dfrac {\ cos (x) + \ sin (x)} {\ cos (x) – \ sin (x)} [/ math] con respecto a [math] x [/ math] ?

Answer 1

Además de la sustitución directa que puedo ver, hagámoslo de otras maneras.

Método 1:

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ int \ dfrac {\ cos x + \ sin x} {\ cos x- \ sin x} \ mathrm dx \\ & = \ int \ dfrac {1+ \ sin 2x} { \ cos 2x} \ mathrm dx \ qquad [\ porque \ text {Multiplicar arriba y abajo por} \ cos x + \ sin x] \\ & = \ int \ sec2x + \ tan2x \ space \ mathrm dx \\ & = \ dfrac12 \ ln | \ sec2x + \ tan2x | + \ dfrac12 \ ln | \ sec2x | + C \ end {align} \ tag * {} [/ math]

---

Método 2:

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ int \ dfrac {\ cos x + \ sin x} {\ cos x- \ sin x} \ mathrm dx \\ & = \ int \ dfrac {\ cos x \ sin \ dfrac \ pi4 + \ sin x \ cos \ dfrac \ pi4} {\ cos x \ cos \ dfrac \ pi4- \ sin x \ sin \ dfrac \ pi4} \ mathrm dx \\ & = \ int \ dfrac {\ sin \ left ( x + \ dfrac \ pi4 \ right)} {\ cos \ left (x + \ dfrac \ pi4 \ right)} \ mathrm dx \\ & = \ int \ tan \ left (x + \ dfrac \ pi4 \ right) \ space \ mathrm dx \\ & = \ ln \ left | \ sec \ left (x + \ dfrac \ pi4 \ right) \ right | + C \ end {align} \ tag * {} [/ math]

---

No he terminado aún….

Método 3:

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ int \ dfrac {\ cos x + \ sin x} {\ cos x- \ sin x} \ mathrm dx \\ & = \ int \ dfrac {\ cos x + \ sin x} {\ cos x- \ sin x} \ cdot \ dfrac {\ sec x} {\ sec x} \ mathrm dx \\ & = \ int \ dfrac {1+ \ tan x} {1- \ tan x} \ mathrm dx \\ & = \ int \ dfrac {\ tan \ dfrac \ pi4 + \ tan x} {1- \ tan \ dfrac \ pi4 \ tan x} \ mathrm dx \\ & = \ int \ tan \ left (x + \ dfrac \ pi4 \ right) \ mathrm dx \\ & = \ ln \ left | \ sec \ left (x + \ dfrac \ pi4 \ right) \ right | + C \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Answer 2

(cosx + sinx) / (cosx-sinx)

= (1 + tanx) / (1-tanx)

[ Dividiendo con cosx en numerador y denominador ]

= [ tan (π / 4) + tanx] / [1-tan (π / 4) tanx]

= tan (x + π / 4)

[(tan a + tanb) / (1-tan a tan b)] = tan (a + b); tan (π / 4) = 1

Ahora integrando lo anterior;

∫ tan (x + π / 4) dx

= -ln | cos (x + π / 4) | + C

[ tan x dx = -ln | cos x | + C; C → una constante; |. | →
Función de módulo; Prueba]

Entonces la respuesta es: -ln | cos (x + π / 4) | + C

[ Aunque el método de sustitución es una forma buena y fácil de resolver esta suma; de esta manera también se cruza para abordar el problema]

Answer 3

Podemos realizar una sustitución en U:

Deje [math] u = \ cos (x) – \ sin (x) [/ math]

[matemáticas] \ frac {du} {dx} = – \ sin (x) – \ cos (x) [/ matemáticas]

[matemática] du = – (\ sin (x) + \ cos (x)) dx [/ matemática]

[matemáticas] -du = (\ sin (x) + \ cos (x)) dx [/ matemáticas]

Reemplazando nuestra integral original:

[matemáticas] \ int \ frac {\ cos (x) + \ sin (x)} {\ cos (x) – \ sin (x)} dx [/ matemáticas]

= – [matemáticas] \ int \ frac {du} {u} = – \ ln (u) = – \ ln (\ cos (x) – \ sin (x)) + C [/ matemáticas]

Answer 4

Multiplica la parte superior e inferior por Cos (x) + Sin (x)

Usa el teorema de Pitágoras para simplificar

Divide la parte superior y la parte inferior por cos ^ 2 (x)

Simplifique nuevamente usando PT.

Luego tome el reconocimiento integral -sin (x) / cos (x) = -tan (x)

Answer 5

[matemáticas] \ int \ frac {f ‘(x)} {f (x)} dx = \ int \ frac {1} {f (x)} d (f (x)) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {d [\ cos (x) – \ sin (x)]} {dx} = – (\ cos (x) + \ sin (x)) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ frac {\ cos (x) + \ sin (x)} {\ cos (x) – \ sin (x)} = \ int – \ frac {f ‘(x)} {f (x )} \. dx [/ math]

[matemáticas] = \ int \ frac {1} {\ cos (x) – \ sin (x)} d (\ cos (x) – \ sin (x)) [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ log (\ cos (x) – \ sin (x)) [/ matemáticas]

Answer 6

[matemáticas] – \ int \ frac {- \ cos x – \ sin x} {\ cos x- \ sin x} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ int \ frac {1} {u} \, du [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ frac {\ cos x + \ sin x} {\ cos x – \ sin x} \, dx = – \ ln {(\ cos x- \ sin x)} + c [/ matemáticas]

Answer 7

Let, cosx-sinx = t

Diferenciar con respecto a ‘x’

dt / dx = -sinx-cosx

dt. = – (sinx + cosx) dx

∫ (cosx + sinx / cosx-sinx) dx = −∫dt / t

= -logt + c

Pon el valor de ‘t’

= -log (cosx-sinx) + c

Answer 8

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {\ cos x + \ sin x} {\ cos x- \ sin x} \ text dx = \ int \ frac {1+ \ tan x} {1- \ tan x} \ text dx \ iff \ int \ frac {1+ \ tan x} {1- \ tan x} \ text dx = \ int \ tan \ big (\ frac {\ pi} {4} + x \ big) \ text dx \ etiqueta * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {1+ \ tan x} {1- \ tan x} \ text dx = \ int \ tan \ big (\ frac {\ pi} {4} + x \ big) \ text dx \ iff \ int \ tan \ big (\ frac {\ pi} {4} + x \ big) \ text dx = \ int \ frac {\ sin \ big (\ frac {\ pi} {4} + x \ grande)} {\ cos \ big (\ frac {\ pi} {4} + x \ big)} \ text dx \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ tan \ big (\ frac {\ pi} {4} + x \ big) \ text dx = \ int \ frac {\ sin \ big (\ frac {\ pi} {4} + x \ big)} {\ cos \ big (\ frac {\ pi} {4} + x \ big)} \ text dx \ iff \ int \ frac {\ sin \ big (\ frac {\ pi} {4} + x \ big)} {\ cos \ big (\ frac {\ pi} {4} + x \ big)} \ text dx = – \ ln \ bigg | \ cos \ big (\ frac {\ pi} {4 } + x \ big) \ bigg | + c \ tag * {} [/ math]

Herramientas utilizadas:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {\ sin x} {\ cos x} \ text dx = – \ ln (\ cos x) + c \ tag * {} [/ matemáticas]