¿Existe una función inversa para [math] \ sec ^ 2 {\ theta} [/ math]?

Answer 1

Observe, primero, que el dominio de [math] \ sec \ theta [/ math] es todo [math] \ mathbb {R} [/ math] excepto los múltiplos impares de [math] \ frac {\ pi} {2} [/ math], y su rango es [math] (- \ infty, 1] \ cup [1, \ infty) [/ math]. Por lo tanto, el dominio de [math] \ sec ^ 2 \ theta [/ math] es el mismo, pero el rango es [math] [1, \ infty) [/ math].

Además, porque [math] \ sec ^ 2 \ theta = \ frac {1} {\ cos ^ 2 \ theta} [/ math] y [math] \ cos ^ 2 \ theta [/ math] es [math] \ pi [/ math] -periodic (es decir, [math] \ cos ^ 2 (\ theta + \ pi) = \ cos ^ 2 \ theta [/ math] por cada [math] \ theta \ in \ mathbb {R} [/ math]), también lo es [math] \ sec ^ 2 \ theta [/ math]. Esto significa que [math] \ sec ^ 2 \ theta [/ math] no es inyectivo en su dominio natural, por lo que no tiene un inverso. (Recuerde que una función inyectiva es aquella para la cual cada entrada distinta tiene una salida distinta, o, si [math] f (x_1) = f (x_2) [/ math], esto debe significar que [math] x_1 = x_2 [ / math]. Si puede encontrar [math] x_1 \ ne x_2 [/ math] tal que [math] f (x_1) = f (x_2) [/ math], entonces [math] f [/ math] no es inyectivo .)

Si hay un inverso de [math] \ sec ^ 2 \ theta [/ math], solo debe existir en un dominio restringido (pero uno que aún abarque todo el rango). Como [math] \ cos ^ 2 \ theta [/ math] es una función par, por lo tanto, [math] \ sec ^ 2 \ theta [/ math], por lo que solo necesitamos considerar un dominio como máximo [math] [ 0, \ infty) [/ math]. La derivada de [math] \ sec ^ 2 \ theta [/ math] es [math] 2 \ tan \ theta \ sec ^ 2 \ theta [/ math], que (debe verificar esto) aumenta en el intervalo [math ] ([/ matemática] [matemática] 0, \ frac {\ pi} {2}) [/ matemática], y disminuyendo en [matemática] (- \ frac {\ pi} {2}, 0) [/ matemática] . Dado que es [matemático] \ pi [/ matemático] -periódico, así como incluso, y está aumentando monotónicamente en la mitad positiva de este intervalo en el que es continuo (desea verificar o probar esto), solo necesita tomar un dominio restringido de [matemáticas] [0, \ frac {\ pi} {2}) [/ matemáticas].

Restringido a este dominio, [math] \ sec ^ 2 \ theta [/ math] es inyectivo (esto se demuestra por el hecho de que su derivada no cambia de signo en este intervalo, aparte de ser [math] 0 [/ math] en [matemáticas] \ theta = 0 [/ matemáticas]).

Restringido a este dominio, [math] \ sec ^ 2 \ theta [/ math] tiene un inverso.

Deje [math] y = \ sec ^ 2 \ theta [/ math]. Lo inverso se puede encontrar haciendo [math] \ theta [/ math] el tema de esta ecuación. Puede tomar como el inverso de [math] y = \ sec x [/ math] solo [math] x = \ operatorname {arcsec} y [/ math] o [math] x = \ sec ^ {- 1} y [ / math], si está seguro de dónde [math] \ sec x [/ math] es invertible. En el final,

[matemáticas] \ displaystyle {\ qquad \ theta = \ sec ^ {- 1} \ sqrt {y}} [/ matemáticas]

para [math] y \ in [0, \ infty) [/ math], y el rango de la inversa es [math] [0, \ frac {\ pi} {2}) [/ math].

Answer 2

¿Existe una función inversa para [math] \ sec ^ 2 \ theta [/ math] ?

No exactamente. Como [math] \ sec ^ 2 (\ theta + 2 \ pi) = \ sec ^ 2 (\ pm \ theta) [/ math] hay múltiples valores de [math] \ theta [/ math] correspondientes a cualquier valor de [matemáticas] \ sec ^ 2 (\ theta) [/ matemáticas]. Además, [math] \ sec ^ 2 (\ theta) [/ math] no está definido cuando [math] \ theta [/ math] es un múltiplo de [math] \ pi [/ math].

Sin embargo, si restringe el rango para que [math] \ sec ^ 2 (\ theta) [/ math] tenga un valor y permanezca finito, entonces hay un inverso en ese rango.

Answer 3

No, pero una relación. Si [math] y = \ sec ^ 2 {\ theta} [/ math], entonces:

[matemáticas] \ pm \ sqrt {y} = \ sec {\ theta} [/ matemáticas]

[math] \ operatorname {Arcsec} {\ pm \ sqrt {y}} = \ theta [/ math]

Donde [math] x = \ operatorname {Arcsec} {y} [/ math] es el inverso multivalor de [math] y = \ sec {x} [/ math]