¿Qué estoy haciendo mal cuando intento resolver esta ecuación diferencial de concentración de mezcla de primer orden?

Answer 1

Con la siguiente notación:
[math] s (t) [/ math] es la cantidad de azúcar en el momento [math] t [/ math].
Supongo que has derivado la ecuación diferencial:
[matemática] \ frac {ds} {dt} = 0.03 \ por 5 – \ frac {s (t)} {1980} \ por 5 [/ matemática]
Es decir:
[matemáticas] \ frac {ds} {dt} + s \ frac {5} {1980} = 0.15 [/ matemáticas]
Multiplicamos esto por el factor integrante [1] [matemáticas] \ mu (t) [/ matemáticas] dado por:
[matemáticas] \ mu (t) = e ^ {\ int \ tfrac {5} {1980} dt} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ mu (t) = e ^ {\ tfrac {5} {1980} t} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {\ tfrac {5} {1980} t} \ frac {ds} {dt} + \ frac {5} {1980} se ^ {\ tfrac {5} {1980} t} = 0.15 e ^ {\ tfrac {5} {1980} t} [/ matemáticas]

[matemáticas] se ^ {\ tfrac {5} {1980} t} = \ frac {0.15 e ^ {\ tfrac {5} {1980} t}} {\ frac {5} {1980}} [/ matemáticas]
[matemáticas] se ^ {\ tfrac {5} {1980} t} = 59.4 e ^ {\ tfrac {5} {1980} t} + C [/ matemáticas]
En [math] t = 0 [/ math], no tenemos azúcar en el agua y, por lo tanto, [math] s = 0 [/ math].
[matemáticas] \ por lo tanto 0 = 59.4 + C [/ matemáticas]
[matemáticas] \ por lo tanto C = -59.4 [/ matemáticas]
[matemáticas] se ^ {\ tfrac {5} {1980} t} = 59.4 e ^ {\ tfrac {5} {1980} t} -59.4 [/ matemáticas]
Simplificando, obtenemos:
[matemáticas] s (t) = 59.4 \ left (1-e ^ {- \ tfrac {5} {1980} t} \ right) [/ math]

f [t_]: = 59.4 (1 – Exp [- (5/1980) t])
Trazar [f [t], {t, 0, 2000},
Marco -> Verdadero,
FrameLabel -> {“Tiempo (min)”, “Azúcar (kg)”},
Cuadrículas -> {Rango [0, 2000, 100], Rango [0, 60, 5]},
PlotStyle -> {Grueso, Rojo}
]

La cantidad de azúcar eventualmente alcanza 59.4 kg / L.

1. Notas en línea de Pauls: ecuaciones diferenciales