¡¡Empecemos el juego!!
[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} L ^ {- 1} \ left [\ dfrac {s ^ 2 + 5} {(s ^ 2 + 4s + 13) ^ 2} \ right] & = L ^ {- 1} \ left [\ dfrac {(s + 2-2) ^ 2 + 5} {((s + 2) ^ 2 + 9) ^ 2} \ right] \\ & = L ^ {- 1 } \ left [\ dfrac {(s + 2) ^ 2-4 (s + 2) + 4 + 5} {((s + 2) ^ 2 + 9) ^ 2} \ right] \\ & = L ^ {-1} \ left [\ dfrac {(s + 2) ^ 2 + 9-4 (s + 2)} {((s + 2) ^ 2 + 9) ^ 2} \ right] \\ & = L ^ {- 1} \ left [\ dfrac {1} {(s + 2) ^ 2 + 9} \ right] -L ^ {- 1} \ left [\ dfrac {4 (s + 2)} {(( s + 2) ^ 2 + 9) ^ 2} \ right] \\ & = e ^ {- 2t} L ^ {- 1} \ left [\ dfrac {1} {s ^ 2 + 3 ^ 2} \ right ] -4e ^ {- 2t} L ^ {- 1} \ left [\ dfrac {s} {(s ^ 2 + 9) ^ 2} \ right] \\ & = \ dfrac {e ^ {- 2t} \ sen 3t} {3} -4e ^ {- 2t} L ^ {- 1} \ left [\ dfrac {s} {(s ^ 2 + 9) ^ 2} \ right] \ end {split} \ end {ecuación } \ tag * {} [/ math]
Ahora, para resolver ese segundo término de aspecto raro, intentaré un truco más travieso 😛
¡El juego comienza!
- ¿Cómo resolvieron los ingenieros las ecuaciones diferenciales no lineales antes del uso generalizado de las computadoras?
- En el problema del estanque circular (ver descripción), ¿siempre hay una forma de escapar del pato?
- ¿Dónde está el mejor resumen sobre el significado de los términos ‘elíptico, hiperbólico, parabólico’ como se usan en diferentes disciplinas en matemáticas?
- ¿Cuál es el significado físico de los vectores propios, integrales de línea, integrales de superficie, integrales de volumen y ecuaciones diferenciales?
- ¿Cuál es el significado físico de la ecuación diferencial?
Supongamos por un minuto que …
[matemática] f (t) = L ^ {- 1} \ izquierda [\ dfrac {s} {(s ^ 2 + 9) ^ 2} \ derecha] [/ matemática]
Si te preguntas qué estoy haciendo, ¡sigue leyendo!
[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} L \ left (\ dfrac {f (t)} {t} \ right) & = \ int_ {s} ^ {\ infty} \ dfrac {s} {( s ^ 2 + 9) ^ 2} \, ds \\ & = \ dfrac {1} {2} \ int_ {s} ^ {\ infty} \ dfrac {2s} {(s ^ 2 + 9) ^ 2} \, ds \\ & = – \ dfrac {1} {2} \ left [\ dfrac {1} {s ^ 2 + 9} \ right] _ {s} ^ {\ infty} \\ & = \ dfrac { 1} {2 (s ^ 2 + 9)} \\\ implica \ left (\ dfrac {f (t)} {t} \ right) & = \ dfrac {1} {2} L ^ {- 1} \ left [\ dfrac {1} {s ^ 2 + 9} \ right] = \ dfrac {\ sin 3t} {6} \\\ implica f (t) & = \ dfrac {t \ sin 3t} {6} \ \\ implica L ^ {- 1} \ left [\ dfrac {s} {(s ^ 2 + 9) ^ 2} \ right] & = \ dfrac {t \ sin 3t} {6} \ end {split} \ end {ecuación} \ tag * {} [/ math]
Entonces, nuestra respuesta final ahora se convierte en …
[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ boxed {L ^ {- 1} \ left [\ dfrac {s ^ 2 + 5} {(s ^ 2 + 4s + 13) ^ 2} \ right] = \ dfrac {e ^ {- 2t} \ sin 3t} {3} – \ dfrac {4e ^ {- 2t} t \ sin 3t} {6}} \ end {split} \ end {ecuación} \ tag * { }[/matemáticas]
¡Juego terminado!
