Probablemente sea mejor comenzar considerando la sección cónica que puede ser elíptica, parabólica o hiperbólica. (Los pondré en ese orden ya que parabólico siempre es un caso de transición entre elíptico e hiperbólico).
La página de wikipedia en la sección cónica tiene una sección sobre otras áreas en matemáticas que explica el enlace.
Mirando las matemáticas detrás de eso, obtenemos una forma cuadrática que se divide en tres tipos generales: elíptica, parabólica o hiperbólica. Una forma elíptica como [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemática] será positiva definida, para cualquier valor de x e y (excluyendo 0,0) el resultado de la forma es positivo. Las formas parabólicas como [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] pueden ser cero, pero nunca negativas (o cero pero nunca positivas). Las formas hiperbólicas como [matemáticas] x ^ 2-y ^ 2 [/ matemáticas] pueden ser tanto resultados positivos como negativos.
Estas formas cuadráticas ocurren en muchas áreas de las matemáticas. En la geometría de las superficies, la segunda forma fundamental es una forma cuadrática relacionada con la curvatura y el tipo de la forma determina el signo de la curvatura gaussiana y la forma local de la superficie.
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Un argumento similar nos da geometrías parabólicas e hiperbólicas elípticas. Otros lugares donde se obtienen formas cuadráticas incluyen ecuaciones diferenciales parciales (PDE) de segundo orden y transformaciones de Möbius y distribuciones de probabilidad.