¿Cuál es el significado físico de la ecuación diferencial?

Answer 1

Para agregar a otras respuestas,
Por lo general, puedes imaginar que la velocidad es de 4 m / sy escribes:
[matemáticas] \ frac {dx} {dt} = 4 [/ matemáticas]

Ahora, imagine, la tasa de cambio de posición no es constante, sino que depende de la posición actual.
¿Cómo propones también resolver un problema tan difícil?
Afortunadamente, lo que nuestro cerebro generalmente encuentra difícil puede simplificarse mediante el uso de anotaciones. Podemos escribir:
[matemáticas] \ frac {dx} {dt} = x [/ matemáticas]

PD: ahora puedes actualizar a problemas realmente difíciles, como:
La fuerza (tasa de cambio de tasa de cambio de posición!) Es proporcional a negativa de la posición misma. Este es el oscilador armónico lineal.
[matemáticas] \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} = – kx [/ matemáticas]
Esto te da el movimiento oscilatorio.

Answer 2

Creo que la razón subyacente de la importancia de DE es que en la mayoría de los sistemas físicos la influencia es local. Es decir, lo que sucede en un punto dado en el espacio y el tiempo depende de lo que sucedió un instante antes en las inmediaciones. Entonces, estamos hablando de cambios infinitesimales en el tiempo y el espacio (que, por supuesto, pueden sumar grandes cambios). Eso es lo que son las ecuaciones diferenciales.

Hay algunas aplicaciones (como la transferencia radiativa) donde la influencia a menudo no se trata como local. En ese caso, normalmente terminas con ecuaciones integrales.

Answer 3

Una ecuación diferencial representa una relación entre la función y sus derivados.

[matemática] f (x, \ frac {dy} {dx} \ cdots) = 0 [/ matemática]

Esta es la forma general de una ecuación diferencial en dos variables.

Eso es todo.

Además representa una familia de curvas.

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Ahora considere la ecuación de algunas curvas como:

[matemáticas] y = mx + c [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 [/ matemáticas]

Siempre que tenga ecuaciones como esta, con parámetros que determinan la curva, puede representar tales familias de curvas en términos de ecuaciones diferenciales.

[matemáticas] y = mx + c [/ matemáticas] es una familia de líneas rectas.

Usted da [matemática] m [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática]: obtiene una línea recta particular de infinitas posibilidades.

De manera similar, [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 [/ matemáticas] representan una familia de círculos con centro en el origen.

Ahora vea la conexión con ecuaciones diferenciales:

[matemáticas] y = mx + c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} = 0 [/ matemáticas]

La ecuación diferencial [matemática] \ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} = 0 [/ matemática] representa la condición general que cualquier línea recta satisfaría.

Resolviendo esto, y poniendo algunas condiciones iniciales, puedo rastrearlo. (En este caso, las coordenadas de dos puntos que se encuentran en esta línea)

Considere el segundo caso: una familia de círculos con origen [matemática] (0,0) [/ matemática] como centro y radio [matemática] a [/ matemática]

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 [/ matemáticas]

[math] \ implica 2x \ mathrm {dx} + 2y \ frac {\ mathrm {dy}} {\ mathrm {dx}} = 0 [/ math]

En otras palabras: [matemáticas] \ frac {y} {x} \ times \ frac {\ mathrm {dy}} {\ mathrm {dx}} = -1 [/ math]

La importancia física en este caso es cegadoramente clara: solo considere el hecho de que la tangente a un círculo es perpendicular a los radios en ese punto.

En general, una ecuación de orden [math] n ^ {th} [/ math] representa una familia de curvas determinada por los parámetros [math] n [/ math].

Fuente de la imagen: Google y mi libro de ejercicios.

Answer 4

1. Crecimiento exponencial – Población
[matemáticas] \ frac {dP (t)} {dt} = kP (t) [/ matemáticas]
donde P (t) es la población con respecto al tiempo

2. Descomposición exponencial – Materiales radiactivos
[matemáticas] \ frac {dM (t)} {dt} = – kM (t) [/ matemáticas]
donde M (t) es la cantidad de material radiactivo que queda en algún momento t

3. Objeto que cae debido a la gravedad
[matemáticas] \ frac {d ^ 2h (t)} {dt ^ 2} = g [/ matemáticas]
donde g es la aceleración debido a la gravedad y h (t) es la altura en algún momento t.

4. Ley de enfriamiento de Newton

5. circuitos RL

6. Drenaje de un tanque …

Esto quiere decir que hay algunas aplicaciones aún más maravillosas con el uso de ecuaciones diferenciales.

Answer 5

y es una función de x

Y = f (x)

Podemos encontrar la tasa de cambio de y con respecto a x

dy / dx = df (x) / dx.

Hay muchas ocasiones en las que tenemos una ecuación que relaciona las derivadas y alguna función de e y.

Estas ecuaciones son ecuaciones diferenciales y su resolución produce la relación real o aproximada entre y y x.