Cómo construir una función de Lyapunov sobre un campo vectorial racional

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No hay una regla para construir una función de Lyapunov; incluso no podemos decir si hay una función candidata de Lyapunov que pueda probar la estabilidad de un sistema dinámico. A veces, el Teorema de Chetaev (ver Wikipedia: Teorema de la inestabilidad de Chetaev) es útil para demostrar la inestabilidad de un sistema.

Si uno considera [matemáticas] x = S + I_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = I_2 + I_3 [/ matemáticas], es fácil verificar:

[matemáticas] \ dot x = -B \ frac {xy} {N} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dot y = B \ frac {xy} {N} [/ matemáticas]

Lo que deja en claro que x + y = N = constante, ya que [math] \ dot N = 0 [/ math];

El sistema dado es inestable, lo que se puede probar invocando el teorema de Chetaev que dice si [math] \ dot x = f (x) [/ math] es un sistema dinámico y V (x) es una función definida positiva (es decir, V (0 ) = 0 V (x)> 0 cuando [matemática] x \ ne 0 [/ matemática]) y si existe una región U tal que 0 está en el límite de U y [matemática] \ dot V (x)> 0 [/ math] en U, entonces el sistema [math] \ dot x = f (x) [/ math] es inestable.

En este problema estamos en [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math], y elegimos [math] U = {(s, i_1, i_2, i_3) | s + i_1> 0, i_2 + i_3 <0} [/ matemática].
y [matemática] V (S, I_1, I_2, I_3, I_4) = 0.5 (S + I_1) ^ 2 + 0.5 (I_2 + I_3) ^ 2 [/ matemática]
Claramente, V es positivo definido, V (0) = 0, V (x)> 0 en U y (0,0,0,0) se encuentra en el límite de U.
[matemáticas] \ dot V = -B (S + I_1) ^ 2 (I_2 + I_3) + B (S + I_1) (I_2 + I_3) ^ 2 [/ matemáticas]

Como [math] s + i_1> 0, i_2 + i_3 0 [/ math].
Esto prueba que el sistema es inestable y no existe NINGUNA función de Lyapunov que pueda probar la estabilidad del sistema (de lo contrario, contradiría el teorema de Chetaev).