En el problema del estanque circular (ver descripción), ¿siempre hay una forma de escapar del pato?

Answer 1

No especificas dónde está el pato en la superficie del estanque, ni dónde está el zorro en la circunferencia del círculo. No especifique cuánto tiempo le toma al pato despegar para llegar finalmente (si es que alguna vez) a la orilla.
Sin embargo, en cuanto al primer y segundo punto, voy a suponer que tenemos un pato bien educado al que le gustan los acertijos matemáticos (y probablemente escribe en Quora los fines de semana) y, por lo tanto, sabe que todo lo que tiene que hacer desde cualquier punto en adelante el estanque se nada hasta el centro exacto, en cuyo punto la posición precisa del zorro alrededor de la circunferencia del estanque es irrelevante, y todas las instancias se reducen al mismo problema.
En cuanto al tercer punto, siendo el pato inteligente que es, rápidamente se dio cuenta de que no tenía nada de qué preocuparse del zorro, siempre y cuando pudiera mirar por encima del hombro exactamente dónde estaba el zorro.
Luego procede a nadar, tan tranquilamente como le gusta, en el diámetro directamente alejado del zorro. Al principio, ella tiene r metros para nadar, donde el zorro tiene Pi metros para correr, aproximadamente tres veces más lejos, por lo que ya no se ve tan bien para ella, dado que el zorro puede correr cuatro veces más rápido que Ella puede nadar…
Por supuesto, en el momento en que ella abandona el centro del estanque, el zorro cree que él la tiene, y se va por el perímetro. Pero todo lo que debe hacer el pato astuto es corregir el rumbo ligeramente para continuar a lo largo del diámetro alejado del zorro, a pesar de que este nuevo diámetro se rota ligeramente con respecto al que se propuso. El resultado neto es que ahora está a algo más de r metros del zorro, y a menos de r metros de la orilla.
Y así continúan por un tiempo. Doblar hacia atrás no sirve de nada al zorro (solo es equivalente a reflejar la trayectoria del pato, suponiendo la capacidad instantánea de cambiar de dirección por parte de los mamíferos y las aves) y no hace nada para disminuir la separación neta entre ellos.
Al darse cuenta de esto, el zorro, que también lee a Quora, pero solo en los días de la semana con una ‘a’ en ellos, sigue resignado corriendo alrededor del estanque, ya sea deocil o widdershins, de cualquier manera que comenzó. (Estoy bastante seguro de que el camino resultante para el pato es una espiral logarítmica lejos del centro del estanque, pero eso no es muy importante para el resultado).
Cuando el zorro cree que tiene el pato es que ella no se ha dado cuenta de que, cuanto más se aleja del centro, más grande debe ser el componente tangencial de su velocidad para mantenerse en el diámetro opuesto al zorro, y por lo tanto, más pequeño la fracción de su velocidad que queda para su viaje radial lejos del zorro. En realidad, esto sucede mucho antes de lo que esperaba, básicamente en un punto muy cercano a ¼ r del centro del estanque.
A esta distancia, cada zorro corre alrededor del perímetro, para cubrir la misma distancia angular, el pato debe poner todas sus energías en nadar alrededor de este círculo, dado que solo puede nadar un cuarto de la velocidad que el zorro puede correr.
Así que siguen haciendo esto por un tiempo, dándole al pato un momento o tres para pensar, aunque no para descansar las piernas. Y de lo que se da cuenta es que, si en cualquier momento se volviera y nadara directamente hacia la orilla, tiene que irse, mientras que el zorro todavía tiene Pi r para correr alrededor de la circunferencia del estanque.
Pero dado que corre cuatro veces más rápido, solo tiene que correr Pi / 4 r, hacia ella ¾ r. Rápida como un martín pescador sale por el rabillo del ojo para atrapar a un pececillo desprevenido, observa que los términos de ¼ r se cancelan, y es solo una cuestión de si sus 3 son menos que el Pi del zorro.
Por supuesto, lo es, ella cambia de rumbo y llega a la orilla, unos 0.142 metros antes de que el zorro pueda sujetarle las mandíbulas.
Aquí es donde su capacidad milagrosa de despegar instantáneamente la coloca en una buena posición, (in) naturalmente, y se escapa cada vez.

Answer 2

No se mencionan distancias y velocidades específicas, así que supongamos que el pato puede nadar a 1 unidad por cosa y luego el zorro puede correr a 4 unidades por cosa. Deje que el radio del estanque sea [matemática] r [/ matemática]. El pato debe nadar hasta un punto que esté [math] \ frac {r} {4} -a [/ math] unidades desde el centro del estanque. El pato nadará alrededor de este pequeño círculo con radio [matemática] \ frac {r} {4} -algo pequeño. [/ Matemática] La circunferencia del camino del pato es [matemática] (\ frac {r} {2} -2algunas cosas pequeñas ) \ pi [/ math]. La circunferencia del estanque es [matemática] 2 \ pi r. [/ Matemática] Debido a que la circunferencia del estanque es más de 4 veces la circunferencia del camino del pato, el pato puede nadar alrededor de su círculo en menos tiempo que el zorro. correr alrededor de la libra. El pato nadará alrededor de su círculo hasta que esté lo más lejos posible del zorro. En ese punto, el pato está [math] r- \ frac {r} {4} -somethingsmall [/ math] desde el punto más cercano en el borde del estanque. Pero el zorro es [matemáticas] \ pi r [/ matemáticas] desde ese punto. El puede llegar a ese punto más rápido que el zorro.

El pato es seguro siempre que [math] somethingsmall [/ math] sea elegido para que [math] \ pi r> 4 (3r / 4 + somethingsmall). [/ Math]

Uno podría preguntarse si el pato puede escapar, no importa cuán rápido sea el zorro. Bueno no. Hay un límite para su suerte. Vamos a ver.

Supongamos que el radio del estanque es [matemática] R [/ matemática], la velocidad del pato es [matemática] 1 [/ matemática] y la velocidad del zorro es [matemática] f [/ matemática], todos usando el mismo unidad lineal Deje que el radio del círculo pequeño sea [matemática] r [/ matemática]. De esta manera, la relación entre la velocidad del zorro y la del pato es solo [matemática] f [/ matemática]. El tiempo que le toma al zorro correr alrededor de los pons de A a C es [math] \ frac {{\ pi R}} {f} [/ math]. El tiempo que le toma al pato nadar de B a C es [matemáticas] Rr. [/ Matemáticas] Para que el pato pueda escapar debemos insistir en que [matemáticas] \ frac {{\ pi R}} {f}> R – r. [/ math] El tiempo que le toma al pato nadar alrededor del círculo interno es [math] 2 \ pi r. [/ math] El tiempo que le toma al zorro correr alrededor del estanque es [math] \ frac { {2 \ pi R}} {f}. [/ Math] También insistimos en que [math] \ frac {{2 \ pi R}} {f}> 2 \ pi r. [/ Math] Aunque no es el mejor trabajo para el pato, puede escapar si [math] r> R \ left ({f – \ pi} \ right) [/ math] y if [math] \ frac {R} {f}> r [/ math].

Entonces el pato puede escapar si [math] \ frac {R} {f}> R \ left ({f – \ pi} \ right) \ Rightarrow 1> {f ^ 2} – f \ pi [/ math].

Answer 3

Imaginemos que el pato está casi en la orilla, pero el zorro está de pie allí esperándolo, entonces el pato inteligente debería nadar hasta el lado diametralmente opuesto del estanque, ya que es el punto más alejado de la bestia carnívora.

Asumiendo que el zorro también es lógico, nunca debería tener que caminar más de la mitad de la costa por cada cambio de dirección que tome el pato; incluso si el pato se queda muy cerca del centro del estanque.

Cuando el zorro trata de caminar de un lado a otro, con P el perímetro del estanque, P = 2πr, solo caminará πr distancia.
Sin embargo, si el pato parte del centro, todavía tiene que nadar una distancia de r.
Con el zorro teniendo π veces más distancia que recorrer, pero corriendo cuatro veces más rápido que el pato (π <4), el pajarito siempre llegará después de su mortal adversario.