Absolutamente hay una relación, y absolutamente tiene un significado.
Mire primero el núcleo de calor en el espacio euclidiano 1d:
[matemáticas] K (x, y, t) = \ frac {1} {(4 \ pi t) ^ {1/2}} e ^ {- \ frac {(xy) ^ 2} {4t}} [/ matemáticas]
Ahora observe la distribución normal (gaussiana) con una sola variable (es decir, una sola dimensión):
- ¿Cuáles son las 10 ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas-elípticas acopladas, no lineales, representadas por las ecuaciones de campo de Einstein, todas completamente escritas?
- ¿Cuál es la lógica detrás del método de variación de parámetros?
- Si [math] f (x) \ geq 0 [/ math] para todo x real, ¿cómo puedo probar que [math] \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {d ^ {n}} { dx ^ {n}} f (x) \ geq 0 [/ math] para todos los x reales?
- ¿Cómo se relacionan las redes neuronales con las transformadas de Fourier?
- ¿Qué estoy haciendo mal cuando intento resolver esta ecuación diferencial de concentración de mezcla de primer orden?
[matemáticas] f (x, \ mu, \ sigma) = \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {2 \ sigma ^ 2}} [/ matemáticas]
Puede ver que en este caso, si reemplaza ‘[math] y [/ math]’ en el núcleo de calor con ‘[math] \ mu [/ math]’ y ‘[math] \ sqrt {2t} [/ math] ‘con’ [math] \ sigma [/ math] ‘, obtienes exactamente el 1d Gaussiano. Esto no es casualidad.
Imagine que tiene un objeto (casi) 1d, digamos que es un tubo largo y estrecho lleno de aire. Ahora imagine que tenemos alguna forma de calentar instantáneamente el aire en un punto particular a lo largo de ese tubo, [matemáticas] x = y [/ matemáticas], a una temperatura alta. ¿Qué pasará después? La respuesta es que esas partículas calientes ahora se mueven mucho más rápido que las partículas frías a cada lado de ellas, y cuando se mueven rápidamente chocan contra las partículas más frías. Cada vez que esto sucede, las partículas calientes (de mayor energía) ceden un poco de su energía a las partículas frías (de menor energía), que luego comienzan a moverse más rápido y chocan contra las partículas más frías a su alrededor. Ahora puede ver lo que sucederá: gradualmente, a medida que avanza ‘t’ (tiempo), la distribución pico de partículas calientes se extenderá, con las partículas inicialmente calentadas a x = y enfriándose y disminuyendo, y las partículas a cada lado de x = y cada vez más caliente y rápido. Las colisiones son esencialmente un proceso aleatorio, por lo que exactamente con qué frecuencia cada partícula colisiona con las que la rodean y cuánta energía se transfiere en el proceso, variará de una partícula a otra. Lo que nos dice el núcleo de calor es cómo el promedio de todas esas colisiones servirá para extender el calor a lo largo del tubo. Esta es la maravilla de la termodinámica y la mecánica estadística; no necesitamos saber cómo se comporta cada partícula en el tubo, sino qué tan rápido se transfiere su energía a las partículas circundantes en promedio.
Al igual que con casi cualquier proceso aleatorio que involucra muchos cuerpos (partículas) que interactúan, el “estado predeterminado” al que el sistema tenderá es un gaussiano; no solo la temperatura a lo largo del tubo, sino también las velocidades de las partículas en un punto dado dentro del tubo tenderán a una distribución gaussiana, que se extenderá con el tiempo.