Tu pregunta está incompleta . Podría haber especificado el tipo de esquema de diferencia finita que estaba utilizando (por ejemplo, el esquema FTCS nos dice que está teniendo convergencia de primer orden en el tiempo y precisión de segundo orden en el espacio).
De todos modos En general, consideremos la aplicación de BC en FDM. Consulte la figura a continuación
El esquema de diferencia directa da la aproximación como se indica a continuación
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(du / dy) 1 = (u2-u1 / deltay) + O (deltay)
Las diferencias hacia atrás y centrales no se pueden usar porque el nodo 2 ‘está debajo del límite. Pero aún puede usar la condición de límite de reflexión, es decir, los “puntos fantasmas” que se encuentran fuera del dominio de la computación. Pero en muchos casos no tendrá ningún sentido físico adecuado y será tan preciso como una diferencia de primer orden hacia adelante.
Sin embargo, todavía podemos obtener un esquema preciso de segundo orden utilizando el enfoque polinómico. Por ejemplo, la componente x de la velocidad u puede expresarse como el polinomio u = a + b * y + c * y ^ 2
Al evaluar esta ecuación en el límite (es decir, el punto de cuadrícula 1), donde y = 0, produce
u1 = a
y en el punto de cuadrícula 2, donde y = deltay, es decir, y2-y1 ,
u2 = a + b * deltay + c * (deltay) ^ 2
y en el punto de cuadrícula 3, donde y = 2 * deltay
u3 = a + 2 * b * deltay + c * (2 * deltay) ^ 2 .
Ahora tienes tres ecuaciones y luego resolviendo para b obtienes
b = (- 3 * u1 + 4 * u2-u3) / (2 * deltay)
ahora si diferencia la primera ecuación u = a + b * y + c * y ^ 2 con respecto a y obtendrá du / dy = b + 2 * c * y
Al evaluar esta última ecuación en el punto 1 de la cuadrícula, es decir, en el límite donde y = 0 , obtenemos
(du / dy) 1 = b
sustituyendo b en esta última ecuación obtenemos
(du / dy) 1 = (- 3 * u1 + 4 * u2-u3) / (2 * deltay)
Esta última ecuación es una expresión de diferencia finita unilateral para la derivada de u en el límite. Es fácil demostrar que esta expresión tiene una precisión de segundo orden.
¡¡¡Espero que esto ayude!!!