Si [math] f (x) \ geq 0 [/ math] para todo x real, ¿cómo puedo probar que [math] \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {d ^ {n}} { dx ^ {n}} f (x) \ geq 0 [/ math] para todos los x reales?

Answer 1

Como se ha señalado, la desigualdad, como se ha dicho, es simplemente incorrecta. La función [matemática] f (x) = e ^ {- x} [/ matemática] es un contraejemplo, y es tan agradable como podría desear: es analítica. La función [math] f (x) = e ^ {- 2x} [/ math] es un contraejemplo de alguna manera más espectacular: para esta función, las sumas parciales [math] S_ {2N} [/ math] del enfoque en serie [ math] \ infty [/ math] y las sumas parciales impares [math] S_ {2N + 1} [/ math] enfoque [math] – \ infty [/ math].

Sin embargo, podría decir que esta es la desigualdad “incorrecta”. Una desigualdad más natural sería

[matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {(n)} (x)} {n!} \ geq 0 [/ matemáticas].

Al menos esta desigualdad es cierta si la función tiene una serie de Taylor con un radio de convergencia mayor que 1 en [matemáticas] x [/ matemáticas], desde entonces

[matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {(n)} (x)} {n!} \ cdot 1 ^ n = f (x + 1) \ geq 0 [/ matemáticas] ,

según lo explicado por Michael Lamar. Los contraejemplos originales del primer párrafo satisfacen esta desigualdad modificada.

Sin embargo, incluso esta desigualdad modificada es incorrecta para funciones simplemente infinitamente diferenciables. David Joyce alude a este hecho, pero aquí hay una expansión de lo que quiere decir si no está profundamente familiarizado con el análisis.

Considere la función [matemáticas] f (x) = 1-2x ^ 2 [/ matemáticas]. (Lo sé, no satisface [math] f (x) \ geq 0 [/ math] para todos los [math] x [/ math] reales; llegaremos a esto).

En 0, tenemos

[matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {(n)} (0)} {n!} = f (0) + f ‘(0) + \ frac {1} {2 } f ” (0) = -1. [/ matemáticas]

Ahora todo lo que tenemos que hacer es encontrar alguna función infinitamente diferenciable [matemática] g (x) [/ matemática] que sea igual a [matemática] f (x) [/ matemática] cerca de 0 pero no sea negativa en todos los reales.

Elija un número pequeño [math] \ epsilon> 0 [/ math]. Tome una función de relieve [matemática] C ^ \ infty [/ matemática] [matemática] h (x) [/ matemática] con [matemática] h (x) = 1 [/ matemática] para [matemática] | x | 2 \ epsilon [/ math]; para [matemáticas] \ epsilon <| x | <2 \ epsilon [/ math] la función interpola entre 0 y 1:

Entonces [math] g (x) = f (x) h (x) [/ math] está de acuerdo con [math] f (x) [/ math] cerca de 0 y [math] g (x) \ geq 0 [/ math ] en todos lados.

El problema es que la condición [math] \ sum \ frac {f ^ {(n)} (x)} {n!} \ Geq 0 [/ math] es una propiedad fundamentalmente local y la restricción [math] f \ geq 0 [/ math] le dice muy poco sobre la naturaleza local de la función. Necesita una estructura global adicional en su función, como algún tipo de analiticidad, para forzar que la desigualdad deseada sea verdadera.

Answer 2

No puede probarlo sin suposiciones adicionales sobre la función porque no es cierto. Por ejemplo, f (x) puede ser no negativo pero no ser diferenciable en ninguna parte. Ciertamente debe suponer que [math] f \ en C ^ \ infty [/ math] en toda la línea real para que lo que escribió incluso se defina.

Aquí hay una prueba fácil de un resultado diferente que incluye un factorial en su suma que se cumple si, [math] \ forall x \ in \ mathbb R [/ math], la función es analítica y tiene un radio de convergencia de al menos uno:

Considere la expansión de Taylor de la función cerca del punto [matemáticas] x [/ matemáticas]. Entonces [math] \ forall | y | \ le 1 [/ math] en el punto [math] x + y [/ math], tenemos:

[matemáticas] f (x + y) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac 1 {n!} \ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}} f (x) y ^ n [/ matemáticas]

Evalúe para [matemáticas] y = 1 [/ matemáticas].
[matemáticas] f (x +1) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac 1 {n!} \ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}} f (x) [ /matemáticas]

Pero [math] f (x +1) \ ge 0 [/ math] porque la función no es negativa en todas partes.

Entonces vemos que:
[matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac 1 {n!} \ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}} f (x) \ ge 0 [/ matemáticas]

No sé cómo extender esta prueba para todas [matemáticas] f \ en C ^ \ infty [/ matemáticas]. Ni siquiera sé si sigue siendo cierto en este caso. [EDITAR: Como Quora User ahora señala muy bien en su respuesta, no es cierto para todas las funciones infinitamente diferenciables.]

Answer 3

Como otros han señalado, la declaración es falsa en general. Aquí hay un contraejemplo:

Tome la función [matemáticas] f (x) = e ^ {- x} [/ matemáticas]. Entonces,

[matemáticas]
\ frac {d ^ n} {dx ^ n} f (x) = (-1) ^ ne ^ {- x}.
[/matemáticas]

Así que arregle [math] p \ in \ mathbb {R} [/ math]. Entonces tenemos

[matemáticas]
e ^ {- p} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ n
[/matemáticas]

que no converge

Por lo tanto, al menos tendríamos que exigir que la serie converja para hacer una declaración sobre su relación de orden con 0. (Además, usted dice que el caso e ^ x se cumple claramente pero la serie diverge. Esto significa que el resultado sí ¡No sostenga!)

[EDITAR: vi que esto ya estaba en los comentarios como un contraejemplo, pero en caso de que alguien más se lo pierda, lo dejaré aquí.]

Answer 4

Es falso. Puede tomar cualquier función positiva [matemática] \ matemática C ^ {\ infty} [/ matemática] definida en un intervalo cerrado y extender su dominio a una función positiva [matemática] \ matemática C ^ {\ infty} [/ matemática] en Todos los números reales.