Hay varias formas diferentes de formalizar la noción de diferencial, apropiada en diferentes contextos. Se definen de formas aparentemente completamente diferentes en geometría algebraica (donde se definen en términos del llamado “módulo de derivaciones”) y geometría diferencial (donde se definen en términos del “paquete cotangente”), por ejemplo.
Sin embargo, el núcleo de todas las definiciones es el deseo de formalizar la siguiente idea imprecisa: un diferencial da una receta para convertir los “caminos” en el espacio en integrales. Por ejemplo, los diferenciales son una forma de definir la “longitud” de las rutas en un espacio.
Por ejemplo, en cálculo básico, la expresión [matemática] 2x dx [/ matemática] es un diferencial, porque dada cualquier ruta (digamos, de 1 a 2), puede definir una integral [matemática] \ int_1 ^ 2 2x dx [/matemáticas].
Los diferenciales no son críticos para el cálculo de una sola variable, donde puedes pensar en el bit [math] dx [/ math] en una integral como una placa repetitiva, para recordarte cómo se llama tu variable. La razón principal por la que no importan en una sola variable es que no importa qué ruta tome de 2 a 3 ; siempre obtienes la misma integral.
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Donde realmente se vuelven cruciales es en las dimensiones superiores, o en los espacios que “se envuelven”. Por ejemplo, puede hacer cálculos en un “toro” que tiene forma de rosquilla, pero una característica extraña de un toro es que las integrales pueden depender de la ruta que tome de un punto final a otro. Ese es el tipo de información que codifica el diferencial. Y finalmente pueden hacer algo de magia real: el tipo de diferenciales que es posible definir en un espacio a menudo te dice mucho sobre la forma del espacio (esto lleva a la idea de la cohomología de De Rham ).
La razón por la que no son tan interesantes en una sola variable es que la recta numérica real no es muy interesante como espacio; no tiene ningún giro / envoltura no trivial / etc.
También debo señalar que en dimensiones superiores, hay varios “grados” diferentes de diferenciales. En un espacio bidimensional, por ejemplo, puede tener “formas 1” (los diferenciales habituales) pero también “formas 2” (que miden el área de las regiones, en lugar de la longitud de las rutas).