Ecuaciones diferenciales ordinarias: si el wronskiano de una EDO es igual a cero, ¿implica que las soluciones son linealmente independientes o linealmente dependientes?

Answer 1

En general, si las funciones wronskianas de [matemáticas] n [/ matemáticas] que son diferenciables [matemáticas] n-1 [/ matemáticas] es cero idénticamente durante un intervalo [matemáticas] (a, b) [/ matemáticas], NO implica dependencia lineal de esas funciones [matemáticas] n [/ matemáticas] en ese intervalo.

Un error común es que [matemática] \; \; W \ equiv 0 \; \; [/ matemática] implica dependencia lineal

Por lo tanto, no puede decir nada sobre la dependencia / independencia lineal a menos que haya información adicional disponible.

Considere el ejemplo:

[matemáticas] f (x) = x | x | \; \; \; \; : x \ en R [/ matemáticas]

[matemática] g (x) = x ^ 2 [/ matemática] [matemática] \; \; \; \; \; \; \; : x \ en R [/ matemáticas]

En el intervalo [math] (- \ infty, 0) [/ math] el Wronskian se convierte en

[matemáticas] W = \ izquierda | \ begin {array} {lr} f (x) & g (x) \\ f ‘(x) & g’ (x) \ end {array} \ right | [/ math]

[matemáticas] W = \ izquierda | \ begin {array} {lr} -x ^ 2 & x ^ 2 \\ -2x & 2x \ end {array} \ right | \ equiv 0 [/ matemáticas]

Además, en el intervalo [math] (0, + \ infty) [/ math], el wronskiano se convierte en [math] W = \ left | \ begin {array} {lr} x ^ 2 & x ^ 2 \\ 2x y 2x \ end {array} \ right | \ equiv 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, en todo el dominio de f y g, el Wronskian es idénticamente cero. Pero las dos funciones no dependen linealmente en ninguna vecindad de [math] 0 [/ math].

Existen varias condiciones adicionales que aseguran que la desaparición del Wronskian en un intervalo implica dependencia lineal, una de las cuales es que si las funciones son analíticas, la desaparición del Wronskian en un intervalo implica que dependen linealmente de ese intervalo.

Sin embargo, dado que la pregunta menciona aquellas funciones que son soluciones de un EDO, para que la desaparición del Wronskian en un intervalo implique una dependencia lineal, se requeriría una prueba de que cada solución de un EDO es una función analítica que yo no ‘ Creo que soy capaz de llegar. (¡Mucho decepción!).

[Ver también: Wronskian]

Answer 2

Implica que las soluciones son linealmente dependientes.
Cada vez que miramos cualquier problema, primero miramos su dominio.
Entonces, en cualquier dominio D st D está en x> 0: Wronskien = 0 y todo está bien
Si x <0, entonces el wronskien NO es cero.
desde (x | x |) ‘= -2x