PDE elípticas, hiperbólicas y parabólicas: ¿cuál es la diferencia?

Answer 1

Hay un enlace con las secciones cónicas, que también vienen en variedades elípticas, parabólicas, hiperbólicas y parabólicas. Las cónicas se definen mediante ecuaciones cuadráticas, y descubres que hay muchas cosas en matemáticas que toman prestados los nombres. He escrito sobre esto en ¿Dónde está el mejor resumen sobre el significado de los términos “elíptico, hiperbólico, parabólico” tal como se utilizan en diferentes disciplinas de las matemáticas?

Veamos las cónicas para empezar. Las ecuaciones básicas son

Elipse: [matemáticas] \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 [/ matemáticas]

Parábola: [matemática] 4 hacha = y ^ 2 [/ matemática]

Hipérbola: [matemáticas] \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} – \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta el cambio de signo entre la elipse y la hipérbola. Puedes pensar en la parábola como el caso de transición entre la elipse y la hipérbola. Es como una elipse si dejas que un foco se mueva hasta el infinito, cuando vuelve al otro lado tienes una hipérbola.

La segunda aplicación de esta nomenclatura son las formas cuadráticas. Estos pueden considerarse como expresiones cuadráticas [matemáticas] ax ^ 2 + 2 bxy + cy ^ 2 [/ matemáticas]. Una rotación de coordenadas puede poner esto en la forma estándar [matemática] A x ^ 2 + B y ^ 2 [/ matemática], que será elíptica, parabólica o hiperbólica dependiendo de los signos de las coordenadas. También puede ver una forma cuadrática como una matriz simétrica.

[matemáticas] \ begin {pmatrix} a & b \\ b & c \ end {pmatrix} [/ math]

Si multiplica esto por un vector (x, y) vemos que esto da la misma forma

[matemáticas] \ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} a & b \\ b & c \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} x & y \ end {pmatrix} [/ matemáticas]

La forma cuadrática [matemática] ax ^ 2 + bxy + cy ^ 2 [/ matemática] será elíptica, parabólica o hiperbólica dependiendo del signo del discriminante [matemática] b ^ 2 – 4 ac [/ matemática] (esto debería ser familiar de la fórmula cuadrática). Si esto es negativo, entonces tiene una forma elíptica, cero da formas parabólicas y discriminante positivo da formas hiperbólicas.

Ahora, si consideramos una ecuación diferencial parcial cuadrática

[Matemáticas] A \ frac {\ partial u} {\ partial x ^ 2} + 2 B \ frac {\ partial u} {\ partial x \ partial y} + C \ frac {\ partial u} {\ partial y ^ 2} \ text {términos lineales y constantes} [/ math]

Esto nuevamente caerá en variedades elípticas, parabólicas o hiperbólicas dependiendo del signo de [matemáticas] B ^ 2 – AC [/ matemáticas] (tenga en cuenta que hemos usado 2B para el segundo coeficiente).

El cambio de coordenadas puede poner cualquier PDE elíptica 2D en el formulario

[matemáticas] \ left (\ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial y ^ 2} \ right) f (x, y, z) = g (x, y, z) [/ matemáticas],

La ecuación de Poisson. Si g = 0 esto se convierte en la ecuación de Laplace. Estos describen cosas como el potencial gravitacional o electrostático.

Answer 2

Al menos en física, como regla general, las ecuaciones elípticas describen sistemas en un estado estacionario, no hay dimensión de tiempo, por lo tanto, sus soluciones se ven afectadas por el dominio completo y las condiciones de contorno, ya que los efectos de todas partes ya se han propagado en todas partes.

Los sistemas hiperbólicos describen sistemas de ahorro de energía que varían en el tiempo, sistemas en los que las ondas transportan energía e información aquí y allá, pero ninguna se pierde. El operador de evolución del tiempo es unitario: tiene una norma de unidad (L2).

Las ecuaciones de calor describen sistemas que varían con el tiempo con algún tipo de disipación, ya sea de información o energía, y típicamente ambas. El operador de evolución del tiempo tiene una norma más pequeña que la unidad.

Answer 3

PDE puede ser hiperbólico, parabólico o elíptico. Algunos PDE muestran los tres comportamientos.

La PDE hiperbólica y parabólica permite la definición de la superficie o línea característica para la cual se conserva cierta cantidad: el sonido viaja en el espacio y el tiempo.

En consecuencia, parte del dominio puede no verse afectado por la perturbación entrante: típicamente un jet volando supersónico.

Las PDE elípticas como Laplacian o Biharmonic tienen una línea característica imaginaria: la zona de influencia de la solución es el dominio mismo.

http://www.me.metu.edu.tr/course …

o

http://www.ryerson.ca/~p3walsh/m …

Answer 4

Todas son secciones cónicas.

Una elipse es una especie de círculo exprimido, tiene dos puntos focales, un eje largo y uno corto. Es la única figura cerrada de los tres.

Creo que ya has tenido suficiente en la escuela sobre la parábola. Si las escribe como curvas paramétricas, también se pueden girar en el plano y no es necesario que tengan un eje de simetría vertical. Los “extremos” de la parábola se mueven cada vez más rápido al infinito o menos infinito para una parábola “normal” con eje vertical de simetría, como y = f (x) = x ^ 2

Tenga en cuenta que los extremos van hacia arriba o hacia abajo para x moviéndose hacia el infinito positivo o negativo.

Una hipérbola tiene dos ejes que no necesitan ser ortogonales. Tienes dos ramas Tomemos 1 / x. Sus ejes son el eje xy el eje y. Ahora para x pequeño, el valor de y se acerca al infinito. La curva nunca cortará el eje y, solo se acercará asintóticamente. Para valores pequeños de y tenemos lo mismo: x va a +/- infinito. Es como si las ramas estuvieran confinadas entre los semiejes que forman un cuadrante.

Es posible que también tenga que hacer algo con la paradoja de Zenón, porque cada vez puede alcanzar la mitad de la distancia a un eje, sin llegar nunca al eje. Pero Zenón estaba hablando de viajar una determinada distancia fija.