¿Qué estoy haciendo cuando estoy integrando una ecuación?

Answer 1

a2a

Tengo una caja de pañuelos en mi escritorio. Si dios (o David Hilbert, lo que prefiera) me dio una función analítica [matemáticas] \ rho (x, y, z) [/ matemáticas] para la densidad dentro de ese cubo 3D, tomando la integral sobre [matemáticas] \ rho [ / math] me daría la masa de la caja, los pañuelos y todo.

¿Por qué funciona esto? Comienza con dividir el problema en pedazos (literalmente). Imagine que en CalculusLand ™ las cosas no están hechas de átomos, sino de pequeños bloques o células 3D. Ahora imagine que, en lugar de [math] \ rho [/ math], Hilbert me dio otras tres informaciones: el tamaño [math] s [/ math] de una celda, su densidad [math] d [/ math], y [math] n_s [/ math] es el número de celdas que componen el cuadro. Luego, para encontrar la masa total de la caja, solo puedo hacer:

[matemáticas] M = n_s \ veces d \ veces s [/ matemáticas]

porque la densidad es masa sobre volumen. Podemos escribirlo de manera equivalente:

[matemáticas] M = \ sum_i ^ {n_s} d_i s. [/ matemáticas]

Cambiamos a esa notación porque algún día podrías toparte con un problema en el que la densidad de cada celda no es la misma, por lo que debes mirar cada una de ellas y encontrar la masa de esa, luego sumar todas esas pequeñas masas calculadas.

Pero todavía hay un problema porque si [math] s [/ math], el tamaño de las celdas pequeñas, es demasiado grande, no estás describiendo algunas cosas muy bien. Por ejemplo, quizás los tejidos en el fondo de la caja estén más aplastados que los de la parte superior, pero la compresión varía continuamente. Luego, si sus celdas son, digamos, una pulgada cúbica, no está capturando esa propiedad continua y en su lugar tiene un montón de bloques discontinuos que describen la densidad, que no es cómo es realmente. Cómo resolver esto es cómo llegar a la integración: tomando la variable de volumen y haciéndola infinitamente pequeña. Y voila … [math] s \ rightarrow ds [/ math] y [math] \ sum [/ math] se convierte en [math] \ int [/ math]. Los límites luego describen los límites del espacio en el que viven todas las piezas [math] ds [/ math]. Luego, todas las piezas [math] d_i [/ ​​math] pueden escribirse de manera concisa como una función [math] \ rho [/ math] sobre cualquier [math] x [/ math], [math] y [/ math] o [math] z [/ math] coordenada para la cual hay una [math] ds [/ math] que representa su volumen (No empuje esto demasiado matemáticamente, este no es un lenguaje preciso).

Pero no siempre tiene que ser sobre masa, volumen y densidades, no siempre tiene que estar en el espacio 3D, nuestras celdas no tienen que ser pequeñas cajas 3D y nuestros límites pueden ser infinitos. Por ejemplo, si en lugar de una caja de pañuelos teníamos una caja hecha de metal que se calentó, podríamos hacer una integral sobre la superficie de la caja y calcular cuánto calor se irradia desde ella. Esto puede ser realmente útil para cuando quieras descubrir qué está sucediendo dentro del sol, porque no puedes entrar para verlo, pero puedes medir su superficie usando cámaras y otros instrumentos de detección. Un ejemplo más abstracto podría ser la integración de una distribución de probabilidad con el fin de determinar cuánto de una población es más alta que seis pies, por ejemplo.

Al final, sin embargo, todo se trata de sumar pequeñas piezas, excepto que en el cálculo las piezas son tan pequeñas como lógicamente pueden ser.

Answer 2

Todos usan la integración en su día a día, es solo que muchos no se dan cuenta. La palabra integrar significa juntar piezas para formar un todo .

Cada vez que agregamos algo nos estamos integrando.

Integramos todas nuestras experiencias de vida anteriores para obtener nuestra visión actual de la vida. Las personas con amnesia han “olvidado” cierta parte de su vida, por lo que se están perdiendo esa parte de la curva.

Si sabemos que estamos gastando 20 $ al día, entonces nos integraríamos para saber que estamos gastando 140 $ a la semana, o 7300 $ al año.

Cuando está planeando cuánto estudiar en un examen, lo estamos integrando. La variable dependiente es “cuánto aprenderemos del estudio” y la variable independiente es “tiempo”. Luego comparamos cuánto aprenderíamos al estudiar con cuánto creemos que necesitamos saber para lograr nuestros objetivos. Si no coinciden, agregaríamos más tiempo de estudio. Pero la hora del día en que estudiemos será importante: si estamos extremadamente cansados, entonces no aprenderemos mucho.

Cada vez que hacemos una estimación o una suposición, nos estamos integrando. Por ejemplo, si calculo que tomará 20 minutos llegar a la escuela, eso se basa en integrar el tiempo con respecto a la distancia recorrida. Estoy sumando cuánto tiempo me llevará viajar una distancia fija.

La razón por la que estos ejemplos pueden parecer extravagantes es porque el cálculo se ocupa específicamente de integrar funciones de valores reales de variables reales, y se preocupa principalmente por obtener respuestas exactas a los problemas de integración. En nuestra vida cotidiana, cuando nos integramos, no siempre estamos integrando números, y generalmente no nos interesan las respuestas exactas. En cambio, estamos satisfechos con respuestas casi exactas. El beneficio de saber cómo usar el cálculo para integrarse es que, cuando trabajemos en una nave espacial o en un plan de seguro, no tengamos que “adivinar”. En su lugar, tendremos un kit de herramientas bien desarrollado listo para realizar las integraciones con la precisión que necesitamos. El cálculo simplemente reduce la probabilidad de error en la integración … no nos está dando una herramienta que no usamos todos los días.

Answer 3

Básicamente, la integración tiene muchas aplicaciones en muchas áreas más allá del cálculo. Si revisa “Cálculo de variable única de Stewart: primeros trascendentales”, en cada capítulo proporciona un proyecto de escritura donde puede aplicar el material de ese capítulo. Aquí hay algunos temas del libro.
– Cálculo y Béisbol
– Dónde sentarse en el cine
– Aplicaciones a la economía y la biología.

Encuentre cómo se aplica a un tema que le interesa. Eso te motivará a estudiarlo.

Answer 4

Las otras respuestas le dan solo un lado de la integración. El otro lado más rudimentario es la integración indefinida. Confía en mí, es sorprendente cómo pocas personas saben lo que significa integrar una función (sin límites).

Básicamente, cuando integra una función f (x), está intentando encontrar una función g (x), que cuando se diferencia, devolverá la función original. Así,

Si la integral f (x) es g (x),

La diferenciación de g (x) dará f (x).

No es de extrañar, la integración de cos x dará sen x + constante, como
d (sen x + constante) / dx = cos x.