Creo que vale la pena comenzar señalando que no hay una sola forma de linealizar una PDE, al igual que no hay una sola forma de linealizar una ecuación algebraica no lineal.
Considere dos linealizaciones de la ecuación no lineal:
[matemáticas] x ^ 2 + 2x + 1 = 0. [/ matemáticas]
(1) Aproxima cada término mediante una expansión de Taylor de primer orden acerca de alguna conjetura [matemáticas] x_0 [/ matemáticas]. Esto te da la linealización:
[matemática] 2x_0 (x-x_0) + x_0 ^ 2 + 2x + 1 = 0. [/ matemática]
(2) Congele todos los términos no lineales en alguna suposición [math] x_0 [/ math]. Esto te da la linealización:
[matemáticas] x_0 ^ 2 + 2x + 1 = 0. [/ matemáticas]
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(3) Cualquier mezcla de las dos anteriores para ecuaciones más generales, como sea conveniente.
Las tres son linealizaciones válidas de la ecuación no lineal original, y pueden ser más o menos útiles que otras dependiendo de la ecuación particular.
Ahora, ¿qué pasa cuando pensamos en una PDE no lineal? En este caso, estamos considerando una ecuación de la forma:
[matemáticas] A [u] = 0, [/ matemáticas]
donde [math] A [/ math] es un mapa no lineal en espacios de funciones.
Los análogos de (1) y (2) en este caso son aproximadamente:
(1) Términos aproximados por expansión de Taylor como antes, pero aquí usando la noción de derivados de Frechet en lugar de derivados clásicos. Puede leer sobre esto en cualquier libro de análisis funcional, o simplemente en el derivado de Fréchet.
(2) La congelación de términos no lineales se extiende más a los teoremas de punto fijo. Aquí, sugeriría el Capítulo 10 de Ecuaciones diferenciales parciales: Segunda edición (Estudios de posgrado en matemáticas): Lawrence C. Evans: 9780821849743: Amazon.com: Libros, que cubre los principales teoremas útiles en PDE (punto fijo de Banach, punto fijo de Schaefer) , etc.) y cuándo pueden ser útiles o no.
No conozco un libro que le enseñe cómo elegir efectivamente qué técnicas usar para linealizar un PDE. Obviamente, depende de la ecuación. Al igual que con las ecuaciones no lineales clásicas, la mejor opción es usar la expansión de Taylor en los términos en los que puede calcular explícitamente las derivadas, y primero intentar una iteración de punto fijo simple en las otras no linealidades.
Que la técnica que elijas funcione o no depende mucho del PDE en particular … Sospecho que aquí se convierte en un arte.