Cómo encontrar f tal que (f (t / 2)) ^ 4 = f (t)

Answer 1

Tenemos la ecuación [matemáticas] f (t / 2) ^ 4 = f (t) [/ matemáticas]. Expandiendo ambos lados en una expansión de la serie Taylor para pequeñas [matemáticas] t [/ matemáticas], encontramos

[matemáticas] f \ izquierda (t / 2 \ derecha) ^ 4 = f (0) ^ 4 + 2 f (0) ^ 3 f ‘(0) t [/ matemáticas] [matemáticas] + \ frac {1} { 2} f (0) ^ 2 \ left [3 f ‘(0) ^ 2 + f (0) f’ ‘(0) \ right] t ^ 2 + \ cdots [/ math]
y
[matemáticas]
f (t) = f (0) + f ‘(0) t + \ frac {1} {2} f’ ‘(0) t ^ 2 + \ cdots
[/matemáticas]
Comparando los coeficientes en cada orden en [matemáticas] t [/ matemáticas], encontramos las ecuaciones

1. En el orden 0
   [matemática] f (0) \ izquierda [f (0) ^ 3 – 1 \ derecha] = 1 \ implica f (0) = 0 ~ \ text {o} ~ 1 [/ matemática]
2. En la orden 1
   [matemática] f ‘(0) \ izquierda [2 f (0) ^ 3 – 1 \ derecha] = 0 \ implica f’ (0) = 0 [/ matemática]. Esto es cierto porque [matemática] 2 f (0) ^ 3 – 1 [/ matemática] es -1 o 1, pero no cero.
3. En la orden 2
   [matemáticas] f ” (0) \ izquierda [f (0) ^ 3 – 1 \ derecha] = 0 [/ matemáticas]. Esto implica que [math] f ” (0) = 0 [/ math] if [math] f (0) = 0 [/ math] e indeterminado if [math] f (0) = 1 [/ math].

Siguiendo este procedimiento a órdenes cada vez más altas, obtenemos el siguiente resultado, en los dos casos

1. Si [math] f (0) = 0 [/ math], entonces obtenemos [math] f ^ {(n)} (0) = 0 [/ math] para todos [math] n \ geq 1 [/ math] . Esto implica que la función desaparece idénticamente. Esta solución no es de interés.
2. Si [math] f (0) = 1 [/ math], entonces obtenemos [math] f ^ {(2n + 1)} (0) = 0 [/ math] para todos [math] n \ geq 0 [/ matemáticas]. Para las derivadas pares, encontramos [math] f ^ {(2n)} (0) = 3 \ cdot 5 \ cdots (2n-1) f ” (0) ^ n [/ math] y [math] f ‘ ‘(0) [/ math] no es fijo. Escribamos [math] f ” (0) = 2a [/ math]. La expansión de Taylor para [matemáticas] f (t) [/ matemáticas] en este caso es entonces
   [matemáticas] f (t) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {(2n)} (0) t ^ {2n}} {(2n)!}
   [/ math] [math] = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(2a t ^ 2) ^ n} {2 \ cdot 4 \ cdots (2n)} [/ math] [math] = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(at ^ 2) ^ n} {n!} = e ^ {at ^ 2} [/ math]
   En el paso final hemos resumido la serie. Esto converge solo en el rango [matemática] t ^ 2 \ en [0,1 / | a | ) [/matemáticas]. Sin embargo, una vez que se ha sumado la serie, podemos continuar analíticamente de forma exclusiva para todos [math] t [/ math]. Finalmente, escribimos [matemáticas] e ^ a = c [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que [matemáticas] c> 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, la única solución no trivial a la ecuación que tenía es [matemáticas]
f (t) = c ^ {t ^ 2} [/ math] para cualquier [math] c> 0 [/ math] real