¿Cuál es la diferencia entre diferenciación y diferenciación parcial?

Answer 1

Una forma muy simple de entender esto es gráficamente.

Considere una superficie tridimensional, la siguiente imagen, por ejemplo.

Aquí la superficie es una función de 3 variables, es decir, f (x, y, z).
Tenga en cuenta que cualquiera de las 3 variables (x, y, z) se puede expresar en términos de otras dos variables independientes.

Considere dos puntos A, B, que se encuentran en la superficie dada y pueden expresarse mediante 3 coordenadas del sistema de coordenadas cartesianas como (a, b, c) y (p, q, r) respectivamente.

¿Cuáles podrían ser las posibles coordenadas del punto C?
Pista: es un avión.

Para ir de A a B, los valores de las coordenadas en todas las dimensiones cambian.

Pero, ¿cuál es la tasa neta de cambio a medida que avanza de A a B? Esto es diferenciación.

Ahora, uno podría preguntarse, está bien, pero ¿qué tan rápido cambió la coordenada x ?
Hmmm, interesante!

Lo que debe hacer ahora es simplemente fijar el valor de una variable independiente: diga y y observe la tasa de cambio de x a medida que varía el valor de z .
Podríamos hacer eso desde una perspectiva diferente. Manteniendo z constante, mirando qué tan rápido cambia x a medida que cambia y .

Este método de encontrar la tasa de cambio con respecto a una variable solo en un espacio de más de 2 dimensiones se conoce como diferenciación parcial.

(Psst … pista … significado parcial no completo)

Usamos el símbolo [math] \ partial [/ math] para representar parcial.

Para un mundo bidimensional (una variable dependiente y una variable independiente), algo así como la diferenciación parcial no tiene sentido, ya que podemos ver que no hay nada que retener en 2 dimensiones. Si arregla cualquiera de las variables, la otra también tiene un valor fijo, que proviene de la definición fundamental de una función.

De las imágenes de arriba, y la imaginación de uno, podemos ver la diferenciación parcial como dos pasos.

1. Seleccione un plano particular en el mundo tridimensional y
2. Ahora haga la diferenciación normal como lo haría en un mundo bidimensional.

¡Tan sencillo como eso!

Una vez que comprendamos esto, podemos aprender a generalizarlo para un espacio n-dimensional. Genial, ¿no es así?

Bueno, alimento para el pensamiento (imprescindible),
¿La tasa de cambio de x con respecto a y manteniendo constante z debe ser la misma que la tasa de cambio de x con respecto a z manteniendo constante y para la misma función f (x, y, z)?
Piensa intuitivamente. ¿Realmente importa si estos valores son los mismos? ¿Qué pasa si no lo son? ¿Esto sucede en un mundo bidimensional? Si es así, ¿cómo lo llamamos? Si no, ¿por qué no existe esa posibilidad?

Además, si tiene mucha paciencia e interés en reflexionar sobre estos, piense en la tasa de cambio de la (tasa de cambio de x con respecto a y para una z particular) con respecto a z para una y particular.
Imaginalo. La imaginación es el paso fundamental 1 para el cálculo.

Espero que hayas disfrutado aprendiendo.

¡Que tengas un gran día!

Fuente de la imagen: [Cámara del teléfono]

Answer 2

Considere que tiene una función f (x) = 2x, aquí el número de variable independiente es uno. (x) Entonces necesita diferenciar la función y con respecto a x solo. Esto es solo DIFERENCIACIÓN de y con respecto a x.

Si tiene una función en términos de dos variables, f (x, y) = 2x + 3y o más, f (x, y, z) = 3x + 4y + 5z, entonces la tasa de cambio con respecto a cada variable independiente tiene para ser encontrado. Entonces, primero necesitamos diferenciar PARCIALMENTE la función con respecto a x solo y nuevamente con y solo, luego la agregamos para obtener la diferenciación total de la función.

Answer 3

Si tiene una función [matemática] f [/ matemática] que depende de una sola variable [matemática] x [/ matemática], entonces puede escribir

[matemáticas] u = f (x) [/ matemáticas]

La derivada se define para ser

[matemáticas] \ frac {du} {dx} = \ lim _ {\ delta x \ a 0} \ frac {f (x + \ delta x) -f (x)} {\ delta x} \ tag 1 [/ matemáticas]

Encontrar el lado derecho de (1) se llama encontrar la derivada de [matemáticas] u [/ matemáticas] con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas].

Ahora si [math] f [/ math] depende de dos variables [math] x [/ math] y [math] y [/ math] entonces tenemos

[matemáticas] u = f (x, y) [/ matemáticas]

Esta vez cuando estamos interesados ​​en encontrar la derivada de [math] u [/ math] hay dos posibilidades. Podemos encontrar la derivada de [math] u [/ math] con respecto a [math] x [/ math] o [math] y [/ math].

La derivada con respecto a [math] x [/ math] se define como

[matemáticas] \ frac {\ partial u} {\ partial x} = \ lim _ {\ delta x \ a 0} \ frac {f (x + \ delta x, y) -f (x, y)} {\ delta x } \ etiqueta 2 [/ matemáticas]

La derivada con respecto a [math] y [/ math] se define como

[matemáticas] \ frac {\ partial u} {\ partial y} = \ lim _ {\ delta y \ a 0} \ frac {f (x, y + \ delta y) -f (x, y)} {\ delta y } \ etiqueta 3 [/ matemáticas]

En (2) tenemos la derivada parcial de [math] u [/ math] con respecto a [math] x [/ math]. En (3) tenemos la derivada parcial de [math] u [/ math] con respecto a [math] y [/ math]. Entonces, la diferenciación parcial es aplicable cuando una función depende de más que una sola variable.

Tenga en cuenta que las derivadas parciales a menudo se denotan mediante subíndices. Por lo tanto, los lados izquierdos de (2) y (3) podrían haberse reemplazado con [math] u_ {x} [/ math] y [math] u_y [/ math] respectivamente.

Answer 4

En esencia, cuando uno quiere medir el cambio en el valor de una función wrt a un cambio muy pequeño en los parámetros de entrada, entonces uno diferencia la función.

Cuando una función depende de varios parámetros, es más útil medir el cambio en la función wrt a un pequeño cambio en uno o pocos parámetros. Esto se llama diferenciación parcial.

Déjame esperar con un ejemplo.

Un país ‘x’ desarrolló una función matemática para predecir la temperatura máxima en un día que dependía de siete parámetros de entrada. Entonces, cada vez que necesitaban medir el cambio de temperatura, simplemente diferenciaban la función, ingresaban los valores relevantes para obtener el resultado.

‘x’ vendió la función a un país pobre ‘y’. La gente del clima en ‘y’ se dio cuenta de que de los siete parámetros de entrada de la función, podían recopilar datos para solo cuatro variables. Como no podían alimentar todos los parámetros de la función, diferenciaron parcialmente la función wrt de los parámetros sobre los que podían recopilar datos, para obtener resultados aproximados.

Answer 5

La diferenciación parcial se usa solo si la variable es una función de más que a variables

P.ej

A = F (x, y) Donde X = F (t) e Y = F (t)

Luego, mientras diferenciamos A completamente con respecto a t, buscamos una diferenciación parcial

DA / Dt = dA / dx * Dx / Dt + dA / dy * Dy / Dt

A = x ^ 2 + y ^ 2
x = 3t ^ 2 + 1
y = 6t

Ahora para encontrar DA / Dt necesitamos diferenciar parcialmente A con respecto a X e Y

Pero debemos diferenciar por completo las ecuaciones X e Y

dA / dx = 2x
dA / dy = 2y
Dx / Dt = 6t
Dy / Dt = 6

Esto implica

DA / Dt = 2x * 6t + 2y * 6
En lugar de x e y sustituimos las ecuaciones de x e y así obtenemos DA / Dt una solución diferencial completa

# 2Jul 24, 2013

Answer 6

Aquí está la respuesta simple: si tiene una expresión con una variable, normalmente puede diferenciarla y encontrarla, esto se llama diferenciación, pero si tiene más de una variable en una expresión para diferenciar, entonces diferencia individualmente todos los términos presentes en la expresión Esto se llama diferenciación parcial

Answer 7

Deje x e y ser dos variables. Tal que y = f (x). Significa que x es una variable independiente e y depende de x. Significa que cada pequeño cambio en x afectará el valor de y. Nw diferenciación es la tasa de cambio de y wrt tasa de cambio de x. Mientras que en el cálculo multivariable, al calcular, la tasa de cambio, wrt una variable, mantenemos constantes otras variables. Esto es una diferenciación parcial. Es lo mismo que si queremos verificar la mejora en el estudiante en un año académico, solo consideramos la comparación de las calificaciones con los últimos exámenes y no consideramos ningún otro parámetro, como su comportamiento, logros cocurriculares, etc.

Answer 8

Considere, tenemos una función y = 2x. Aquí, el número de variable independiente es 1. Por lo tanto, tenemos que diferenciar y wrt x solamente. Y esta es la diferenciación.

Ahora, si tenemos una función en términos de dos variables, por ejemplo f (x, y) = 2x + 3y. Luego, en esta condición, tenemos que diferenciar primero para x solo luego para y y, por último, debemos agregarlo. Entonces es una diferenciación parcial.