¿Cómo funciona el método del elemento límite (también conocido como método de momentos) para resolver PDE?

Answer 1

(Nota: lo que estoy a punto de decir reajusta las fuentes estándar en un lenguaje más corto y menos preciso. El método del elemento límite del artículo de Wikipedia tiene buenas referencias para un tratamiento menos ondulado)

Los métodos de elementos de límite funcionan para PDE lineales donde la solución en el interior de alguna región está completamente determinada por los valores en el límite. Un ejemplo estándar de tal ecuación es la ecuación de Laplace. La idea es que resolver el PDE en el interior de la región es equivalente a resolver una ecuación integral en el límite. Uno se traduce entre la solución en el interior y los valores límite utilizando la función de Green para el PDE (por lo que una condición previa para usar dicha técnica es poder calcular la función de Green).

Cuando se resuelve numéricamente una PDE lineal utilizando elementos finitos, lo que sucede es que la región se “discretiza” en parches, y la verdadera solución se aproxima como una combinación lineal de funciones de “elemento” que toman valores en esos parches, por lo que uno convierte el PDE en un problema de álgebra lineal. Con los métodos de elementos de límite, uno hace lo mismo, excepto que los elementos viven en el límite del dominio en lugar del interior (y luego está el paso adicional de integrar el término apropiado de la función de Green para calcular los valores interiores) .

Una ventaja importante de los métodos de elementos de límite es que hay una dimensión espacial menos, por lo que el número de elementos es mucho menor (esta es la “maldición de la dimensionalidad”). Una desventaja común es que el problema de álgebra lineal tiene una matriz muy densa (donde las PDE resueltas usando elementos finitos generalmente dan problemas de álgebra lineal dispersos), y son más difíciles de resolver.