¿Cómo funcionan los métodos de elementos finitos para resolver PDEs?

Answer 1

Esta es una respuesta muy abstracta. Un principiante en FEM puede no ser capaz de apreciar esto. El conocimiento básico en álgebra lineal y ecuaciones diferenciales puede ayudarlo a comprender esto.

Digamos que tenemos una ecuación diferencial parcial junto con condiciones de contorno para resolver (condiciones de límite de Dirichlet y Neumann). Esto se llama la “forma fuerte” de la ecuación. Por ejemplo, tomemos una varilla sobre la cual se aplica una fuerza uniformemente aplicada ” f ” (N / m) a lo largo de la longitud en la dirección x y una carga puntual ” P ” (N) aplicada en x = L. La varilla se fija en x = 0 . La varilla está hecha de material isotrópico lineal, elástico, el módulo E de Young es constante en toda la longitud y la sección transversal A también es la misma en toda la longitud.

1. Encuentre el desplazamiento de dirección x u , de modo que satisfaga la DE para todas las x en el conjunto de puntos de modo que 0 <x <L (intervalo abierto)

[matemáticas] EA \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} + f = 0 \ hspace {2mm} \ forall \ hspace {2mm} x \ in (0, L) [/ math]

y condiciones de contorno,

[matemáticas] u = 0 \ hspace {2mm} [/ matemáticas] en [matemáticas] [/ matemáticas] x = 0 y

[matemáticas] EA \ frac {\ partial u} {\ partial x} = P \ hspace {2mm} [/ math] en x = L

1. Ahora convierta esto en una correspondiente forma débil de dimensión infinita . Tenga en cuenta que una forma débil de dimensión infinita es equivalente a la forma fuerte . La forma débil dimensional infinita ya tendrá incrustadas las condiciones de contorno de Neumann . Introduciremos una nueva función llamada función de ponderación en el proceso .
2. ¡Gracias a Dios, no resolvemos esta “forma débil de dimensión infinita” en un FEM! Tratamos de resolver la forma débil de dimensión finita donde el número de los vectores básicos utilizados para representar la función de ponderación y el “parámetro de interés” [esto puede ser la temperatura si estamos haciendo un análisis térmico o componentes de desplazamiento en un problema de elasticidad] es finito. ¡Aquí es donde entra en escena todo el concepto de ” aproximación “!
3. Por ejemplo : en un elemento lineal de 2 nodos, las funciones básicas son “1” y “x”, que pueden abarcar todo el espacio de la función lineal unidimensional. Utilizaremos el mismo conjunto de funciones básicas para interpolar las funciones, la función de ponderación y la función parámetro de interés [Método de Bubnov Galerkin]
4. Divide el dominio en ” elementos “. Los elementos tendrán nodos . Los nodos son esas ubicaciones, donde resolveremos el valor del parámetro [Componente de desplazamiento / Temperatura]. Ahora, usando funciones de forma , podemos interpolar un parámetro dentro de un elemento. Las funciones de forma también se pueden considerar como funciones básicas mencionadas anteriormente.
5. Exprese la forma débil dimensional finita en términos de los valores nodales dentro de cada elemento. Este será un conjunto de ecuaciones lineales en términos de los valores nodales . Expresar lo mismo en forma de matriz-vector . Repita lo mismo para todos los elementos.

Combina todo este conjunto de ecuaciones lineales. Póngalo en la forma [ K ] x = F.

1. Aplicar las condiciones de contorno de Dirichlet.
2. Resolver el sistema de ecuaciones para valores nodales.
3. Usando funciones de forma, evalúe el parámetro en cualquier punto dentro del dominio

Paz !!

Answer 2

Dado un PDE, sus soluciones son funciones, y los métodos numéricos intentan aproximar tales funciones en lugar de encontrar expresiones analíticas. Para encontrar aproximaciones, elige alguna plantilla / formulario para sus funciones, como valores en los puntos de una cuadrícula regular, o quizás combinaciones lineales de funciones “agradables” conocidas con algunos coeficientes. En cualquier caso, las funciones estarán representadas aproximadamente por conjuntos de parámetros numéricos. Entonces, ahora estás buscando vectores en algún espacio de alta dimensión.

El truco principal es reestructurar las PDE originales como ecuaciones convencionales (no diferenciales) en términos de esos números / vectores desconocidos. Si el PDE es lineal, obtienes ecuaciones lineales de la forma [matemática] Ax = b [/ matemática] con una matriz [matemática] A [/ matemática]  un vector conocido [matemático] b [/ matemático]  que representa condiciones de contorno y un vector desconocido [matemática] x [/ matemática] . Tales sistemas se pueden resolver muy rápidamente de muchas maneras, por ejemplo, mediante el método lineal de gradiente conjugado. Las PDE no lineales son mucho más difíciles de resolver: puede aproximarlas mediante una secuencia de PDEs lineales o convertirlas directamente en un sistema no lineal de ecuaciones y resolver ese sistema, por ejemplo, mediante el método de Newton.

Una buena elección de funciones “agradables” puede simplificar el sistema resultante.

Aquí se pueden ilustrar muchos detalles, y otras respuestas pueden hacer esto. Mientras tanto, espero que obtenga la idea general de esta simple explicación.

Answer 3

Pasos básicos de FEM para resolver PDEs:

1. El método de elementos finitos subdivide el dominio de interés sobre el cual la ecuación de gobierno exacta necesita ser resuelta aproximadamente. Se realiza a través de entidades geométricas conocidas como elementos finitos.
2. A continuación consideramos un elemento particular en lugar de un dominio completo. Para este elemento, expresamos una variable dependiente desconocida de ecuación diferencial con una función aproximada (por ejemplo, polinomio algebraico) sobre todo el dominio. Resolviendo los coeficientes desconocidos en la función aproximada asumida en términos de valores nodales y volviendo a colocar los valores de estos coeficientes en la función aproximada, obtenemos la función aproximada en términos de algunas funciones interpolantes (funciones de forma) y valores nodales.
3. Para obtener valores nodales, la ecuación diferencial se integra usando métodos variacionales (por ejemplo, método residual ponderado) que finalmente produce ecuaciones algebraicas de tipo AX = B donde A y B son matrices conocidas y X es una matriz cuyos elementos son valores nodales. Estos valores nodales se pueden usar ahora en el paso 2 para obtener la función o solución aproximada sobre todo el dominio.

Answer 4

La solución de una PDE dada junto con las condiciones de contorno, se puede encontrar mediante métodos variacionales, que convierten el problema en un problema de minimización donde encuentra los coeficientes para las funciones básicas que seleccionó para representar la solución. Si la solución real del problema es extremadamente complicada (aunque no se puede saber de antemano), las funciones básicas seleccionadas pueden ser insuficientes para representarlo, por lo tanto, el error aumenta. Ahora aquí es donde FEM hace su impacto; Si el dominio del problema se divide en subespacios más pequeños con suficiente densidad, la solución no se desviará mucho dentro del subespacio, por lo tanto, incluso una función de base lineal podría ser suficiente para la representación. Puedes imaginar esto en 1D al colocar puntos en una curva e interpolarlos. Si coloca los puntos más densamente, puede observar que el error para cada sección de línea disminuye. Esta representación da como resultado un conjunto de ecuaciones dadas por una matriz y puede resolverse con varios métodos, como indicó Igor Markov.

Answer 5

Las otras respuestas ya han cubierto los conceptos básicos de los métodos de elementos finitos. Sin embargo, si desea algo más práctico, le recomiendo este recurso: Software de análisis de elementos finitos (FEA)

Debería ayudarlo a comenzar con las simulaciones. Además, estos seminarios web también pueden ayudar: seminarios web de CAE