Los métodos de diferencia finita implican esencialmente la expresión de derivados en un punto a través de una expansión truncada de la serie Taylor.
Considere el siguiente ejemplo. Digamos que tenemos una cantidad [matemática] u (x) [/ matemática] definida en algún intervalo I, es decir, [matemática] x \ en I [/ matemática]. Supongamos que [math] u [/ math] es la cantidad de interés en una ecuación diferencial definida en este intervalo y supongamos que discretizamos el intervalo en un conjunto finito de nodos. Supongamos, por simplicidad, que los nodos son equidistantes.
Suponiendo que el espacio nodal es lo suficientemente pequeño, podemos expresar el valor de la cantidad [math] u (x) [/ math] en el nodo [math] (i + 1) ^ {th} [/ math] a través de una serie de Taylor Expansión de la siguiente manera:
[matemáticas] u_ {i + 1} = u_i + \ left. \ Delta x \ frac {du} {dx} \ right \ vert_ {i} + \ left. \ frac {(\ Delta x) ^ 2} {2 !} \ frac {d ^ 2u} {dx ^ 2} \ right \ vert_ {i} + \ cdots \ cdots [/ math]
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Si nuestra suposición inicial sobre el espaciado de la cuadrícula [matemática] \ Delta x [/ matemática] es correcta, los términos de orden cuadrado y superior en [matemática] \ Delta x [/ matemática] pueden ignorarse y nos quedaremos con:
[matemáticas] u_ {i + 1} = u_i + \ left. \ Delta x \ frac {du} {dx} \ right \ vert_ {i} + [/mathfont>[mathfont>\left.\frac{(\Delta x) ^ 2} {2!} \ frac {d ^ 2u} {dx ^ 2} \ right \ vert_ {i} + (Higher \ order \ terms) [/ math]
Al reorganizar los términos, obtenemos:
[matemática] \ left. \ frac {du} {dx} \ right \ vert_ {i} = \ frac {u_ {i + 1} – u_i} {\ Delta x} + [/ math] [math] \ left. \ frac {\ Delta x} {2!} \ frac {d ^ 2u} {dx ^ 2} \ right \ vert_ {i} + (Superior \ orden \ términos) [/ matemática]
[matemáticas] \ izquierda. \ frac {du} {dx} \ right \ vert_ {i} = \ frac {u_ {i + 1} – u_i} {\ Delta x} + \ mathcal {O} (\ Delta x) [/matemáticas]
[math] \ mathcal {O} (\ Delta x) [/ math] representa el orden del error de truncamiento. Como [math] \ Delta x [/ math] es pequeño, la potencia más baja de [math] \ Delta x [/ math] dominará el término de Error de truncamiento y, por lo tanto, se toma como el orden del error de truncamiento y, por lo tanto, el orden de precisión del esquema FDM que acabamos de derivar.
Finalmente nos quedamos con:
[matemáticas] \ left. \ frac {du} {dx} \ right \ vert_ {i} = \ frac {u_ {i + 1} – u_i} {\ Delta x} [/ math] como la aproximación para la primera derivada de [math] u (x) [/ math] en [math] (i) ^ {th} [/ math]. Este es un esquema de diferencia directa ya que la derivada se aproxima como una combinación lineal ponderada de [math] (i) ^ {th} [/ math] y [math] (i + 1) ^ {th} [/ math] Valor funcional nodal.
La manipulación de la expansión de la serie Taylor nos permite derivar esquemas hacia adelante, hacia atrás o centrales y, dependiendo de cuántos términos de orden superior se truncan, también se puede manipular el orden de precisión del esquema utilizado.
Una vez que hemos reemplazado todos los términos derivados en una PDE dada con aproximaciones de diferencias finitas, nos queda una serie de ecuaciones lineales. Por lo tanto, a través de las diferencias finitas, una ecuación diferencial definida en un dominio continuo se convierte en una serie de ecuaciones algebraicas definidas en un dominio discreto.
Tenga en cuenta que la precisión de un esquema de diferencias finitas se reduce rápidamente a medida que aumenta el espacio nodal (el error de truncamiento se dispara). Además, el método rápidamente se vuelve difícil de manejar en cuadrículas que tienen cualquier tipo de complejidad (espaciado no uniforme, límites móviles, etc.).