1)
Arregle un punto de fase x [matemática] \ en [/ matemática] M donde M es una variedad diferenciable.
entonces Arnold define la curva de fase de la siguiente manera:
[matemáticas] \ {g ^ {t} x: t \ in \ mathbb {R} \} [/ matemáticas]
donde g [math] ^ {t} (x) [/ math] es el estado del sistema en el momento t dado el estado inicial x. Él llama a esto el mapeo t-advance. Entonces, para una x fija, g [math] ^ {t} (x) [/ math] es una función que asigna M a M.
Intuitivamente, si observa cualquier punto x en el espacio de fase M, g lo empuja a través del tiempo t. Esto hace que la curva de fase sea un subconjunto de M. Es decir, es un conjunto de puntos dentro de su espacio de fase M.
Imagine que deja caer un corcho en un río y luego dibuja una línea que sigue al corcho mientras se balancea. Esa línea es la curva de fase para esa condición inicial particular. Elija una x diferente para comenzar y generalmente tendrá una curva de fase diferente.
El movimiento no es un conjunto de puntos contenidos dentro del espacio de fase. Es un tipo de objeto completamente diferente.
Es una función que mapea los números reales en el espacio de fase.
[matemáticas] \ {\ varphi: \ mathbb {R} \ mapsto M \}, \ varphi (t) = g ^ {t} x [/ math]
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Entonces, para hacer un cuento un poco más largo:
La curva de fase es cada punto del espacio de fase (el río) a través del cual su punto inicial (donde deja caer el corcho) finalmente fluye en algún momento.
El movimiento es la fuerza impulsora real detrás del movimiento del corcho. Es una descripción de la corriente del río. Puede incluir remolinos, rápidos y similares. Puede tener lugares de movimiento rápido o más lento, incluidos cambios de dirección, etc.
Son similares y la diferencia puede parecer un poco tonta en algunos aspectos, pero es una distinción sutil que es muy importante de entender como muchas cosas en matemáticas.
2. No sé qué teorema de extensión está preguntando.