¿Alguien puede ayudar a resolver este ODE no lineal por métodos numéricos?

Answer 1

Representa tu ecuación como tres EDO de primer orden, luego aplica Runge Kutta o cualquier otro método. Si esto no es un IVP, entonces use algo como un método de disparo para resolver BVP.
[matemáticas] \ dot {x} _1 = x_2, (= \ dot {x}) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dot {x} _2 = x_3, (= \ ddot {x}) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dot {x} _3 = \ frac {x_1 -1} {x_1 ^ 3}, (= \ frac {d ^ 3x} {dt ^ 3}) [/ matemáticas]
Aquí, su [matemáticas] (h, x) \ rightarrow (x, t) [/ matemáticas] (preferencia personal).

No veo ninguna convergencia de LHS para [math] t \ rightarrow – \ infty [/ math] (como usted dice), pero tampoco estoy muy atento a los números en su pregunta. La pregunta original sobre math.stackexchange establece [math] t \ rightarrow + \ infty [/ math] y quieren ver una convergencia para [math] \ ddot {x} \ rightarrow K [/ math] como [math] t \ flecha derecha + \ infty [/ math]. Esto se muestra a continuación.

Mi script de espacio de estado,

  función dx = espacio de estado (t, x)
 dx = [0;  0;  0];
 dx (1) = x (2); 
 dx (2) = x (3);
 dx (3) = (x (1) -1) / (x (1) ^ 3); 

Mi guión solucionador,

  cierra todo;  limpiar todo;  clc;
 % Según stackxchange, A -> 0, ya que epsilon tiene que -> 0
 % Suponiendo que A = 0.01 para obtener x (0) = 1 + A, x '(0) = A, x' '(0) = A
 xini = [1.01 .01 .01];
 tini = [0: 1e-4: 100];

 opciones = odeset ('RelTol', 3e-6, 'AbsTol', [1e-9 1e-9 1e-9]);
 [tm, xm] = ode45 (@ statespace, tini ', xini', opciones);

 figura, diagrama (tm, xm (:, 1), 'k.-'), xlabel ('t'), ylabel ('x_1 (x)')
 figura, diagrama (tm, xm (:, 2), 'k.-'), xlabel ('t'), ylabel ('x_2 (x)' '')
 figura, diagrama (tm, xm (:, 3), 'k.-'), xlabel ('t'), ylabel ('x_3 (x)' '' '') 

La ecuación no es lo suficientemente rígida para que los solucionadores rígidos produzcan una diferencia.

Espero que tengas mejor suerte al descubrir la convergencia a 1 cuando [math] t \ rightarrow – \ infty [/ math].

[matemáticas] x_1 = x [/ matemáticas]

[matemáticas] x_2 = x ‘[/ matemáticas]

[matemáticas] x_3 = x ” [/ matemáticas], y esto muestra la convergencia