¿Por qué podemos tomar c1’y1 (x) + c2’y2 (x) como cero mientras derivamos la integral particular de una ecuación diferencial lineal de segundo orden usando la variación de parámetros?

Answer 1

Bueno, no puedo decir cómo se le ocurrió a la persona por primera vez, pero puedo decirte por qué es lógico hacerlo.

Sabemos que y1 e y2 son soluciones de la ecuación … por lo que satisfarán la ecuación. Por lo tanto, parece un desperdicio tener esta propiedad y no usarla.
Pero para usarlo, necesitas la segunda derivada de y1 e y2 … así que debes diferenciar la ecuación principal dos veces.

Recuerda que la derivada de un desconocido es un extra desconocido … no es parte del mismo. Entonces la ecuación tiene c1, c2, c1 ‘, c2’, c1 ”, c2 ” como incógnitas.
Sin embargo, cuando usa la propiedad de solución de y1 e y2, c1 y c2 desaparecen de la ecuación. Pero aún tiene 4 incógnitas y solo 1 ecuación utilizable.

Lo único que puedes hacer ahora es agregar tu propia ecuación … algo que inventaste para ayudarte. Podría agregar 3 ecuaciones más, para que finalmente tenga 4 ecuaciones y 4 incógnitas … pero eso es un poco complicado de resolver.
Es más fácil agregar solo 1 ecuación y, por lo tanto, resolver solo 2 ecuaciones. Pero puede resolver 2 ecuaciones solo si hay 2 variables … así que esta ecuación adicional que está agregando debe eliminar de alguna manera 2 de las 4 incógnitas actuales.

Por supuesto, puede elegir cualquier 2 … pero por conveniencia, elegimos eliminar las segundas derivadas (c1 ” y c2 ”) … porque entonces solo tendrá 2 variables independientes de la primera derivada, que pueden resolverse sin tener en cuenta las parte derivada Y después de resolver, es más sencillo integrar las primeras derivadas que las segundas derivadas.

Ahora para hacer la ecuación. No puede eliminar directamente c1 ” y c2 ” de la ecuación (por ejemplo, estableciendo la suma de los 2 términos como 0) … ya que así es como planeamos resolver las 2 ecuaciones finales.
Por lo tanto, ¡evitamos que estos términos nazcan en la ecuación final! c1 ” y c2 ” provienen solo de los términos c1 ‘y c2’ de la ecuación de primer orden. Entonces, para eliminar c1 ” y c2 ” antes de que existan, eliminamos los términos c1 ‘y c2’.

No puedo explicar cómo pensar en esta estrategia de “feticidio” … tal vez sea porque la persona recordaba alguna otra ecuación de segundo orden, donde faltaban algunas derivadas de segundo orden porque se eliminaron las derivadas de primer orden.