Existen varios métodos para abordar la solución de este problema. Mohan S Nayaka cubrió correctamente el uso del método de coeficientes indeterminados en un ODE lineal no homogéneo de enésimo orden (en este caso, n = 1), aunque parece haber mezclado los coeficientes de los términos seno y coseno. Otro enfoque alternativo de nivel superior es el uso de transformadas de Laplace.
Sin embargo, el primer enfoque que aprende en un curso de ecuaciones diferenciales [n ordinarias] es utilizar un factor integrador. Las Notas de Paul cubren todos estos métodos muy bien (vea las Notas en línea de Pauls: Ecuaciones diferenciales para el tutorial sobre el método del factor integrador, y recuerde que “t” y “dt” en esos tutoriales son fácilmente intercambiables con “x” y “dx” en esta respuesta). La derivación aquí se puede atribuir a esa página, o cualquier número de libros de texto o cursos de ecuaciones diferenciales.
Aquí está la idea:
El ODE lineal de primer orden debe ajustarse a la siguiente plantilla: [matemática] \ frac {dy} {dx} + p (x) * y = q (x) [/ matemática]
p (x) y q (x) deben ser funciones continuas de x. El conjunto de funciones continuas de x incluye las funciones constantes (es decir, p (x) = C), los senos (es decir, p (x) = sin (ax)) y los cosenos (es decir, p (x) = cos (bx) ), junto con muchos otros.
Así que primero asegurémonos de que su ODE se ajuste a esta plantilla:
[matemáticas] \ frac {dy} {dx} + p (x) * y = q (x) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {dy} {dx} + (-2) * y = cos (3x) [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemática] p (x) = -2 [/ matemática] y [matemática] q (x) = \ cos {3x} [/ matemática].
Estas son funciones continuas de x, por lo que su ODE se ajusta a la plantilla.
Muy bien, ¿qué tiene de especial esta plantilla? Podemos hacer un poco de manipulación si introducimos una función “mágica” llamada “factor integrador” [math] \ mu (x) [/ math]:
[matemáticas] \ mu (x) * \ frac {dy} {dx} + \ mu (x) * p (x) * y = \ mu (x) * q (x) [/ matemáticas]
(De ahora en adelante, omitiré los símbolos de multiplicación * y denotaré [math] \ frac {dy} {dx} [/ math] como [math] y ‘[/ math] para acortar estas ecuaciones).
¿Por qué es este “factor integrador” tan especial? Bueno, al multiplicar todo en la ecuación por este mismo factor integrador, no estamos cambiando las soluciones de la ecuación. Sin embargo, debido a que no hemos determinado la forma exacta del factor integrador, podemos hacer que p (x) o q (x) sean mucho más bonitas / fáciles de manipular.
Limitemos un poco más este factor integrador. Digamos que la derivada de este factor de integración con respecto a x es igual al factor de integración en sí multiplicado por p (x):
[matemáticas] \ mu ‘(x) = \ mu (x) p (x) [/ matemáticas]
¿Qué sucede si sustituimos esto en la plantilla?
[matemáticas] \ mu (x) y ‘+ \ mu’ (x) y = \ mu (x) q (x) [/ matemáticas]
¿Hay algo que note sobre el lado izquierdo que sea curioso? ¿Tiene alguna forma de simetría?
Si aún no lo ha adivinado, ¡ese es el resultado de la regla del producto!
Regla del producto: [matemáticas] (r (x) s (x)) ‘= r (x) s’ (x) + r ‘(x) s (x) [/ matemáticas]
Lado izquierdo de lo anterior: [matemáticas] \ mu (x) y ‘(x) + \ mu’ (x) y (x) [/ matemáticas]
Entonces, ¿qué tal si cambiamos la regla del producto? Comprimamos ese lado izquierdo:
[matemáticas] (\ mu (x) y) ‘= \ mu (x) q (x) [/ matemáticas]
Eso se ve muy compacto, pero no perdamos de vista nuestro objetivo inicial: Resolver por y
Muy bien, entonces, ¿cómo salimos de esa derivada? ¡Integrar!
[matemáticas] \ int (\ mu (x) y) ‘dx = \ int \ mu (x) q (x) dx [/ matemáticas]
Woah, ¿qué es eso de la izquierda? ¡Parte del teorema fundamental del cálculo! Vamos a sustituirlo con la otra parte de la FTC:
[matemática] \ mu (x) y + C_1 = \ int \ mu (x) q (x) dx [/ matemática] (El subíndice es solo para realizar un seguimiento de nuestras diferentes constantes).
Todavía queremos y, ¿qué queda? Más manipulación:
[matemáticas] \ mu (x) y = \ int \ mu (x) q (x) dx – C_1 [/ matemáticas]
[matemática] y = \ frac {\ int \ mu (x) q (x) dx + C_2} {\ mu (x)} [/ matemática] (C2 es solo el negativo de C1.)
¡Dulce, entonces tenemos una solución para ti! Sin embargo, todavía no sabemos cuál es la forma real de esta magia [matemática] \ mu (x) [/ matemática], así que ese es nuestro siguiente paso.
Para dar el siguiente paso, debemos retroceder unos 5 pasos y volver a nuestra ecuación de restricción:
[matemáticas] \ mu ‘(x) = \ mu (x) p (x) [/ matemáticas]
Solo por diversión, muevamos todos los términos de integración de factores a la izquierda:
[matemáticas] \ frac {\ mu ‘(x)} {\ mu (x)} = p (x) [/ matemáticas]
Quizás algo acaba de hacer clic en tu mente sobre ese lado izquierdo. ¿Te parece familiar? Debería ser:
[matemáticas] (\ ln {\ mu (x)}) ‘= \ frac {\ mu’ (x)} {\ mu (x)} [/ matemáticas]
Muy bien, entonces sustitúyelo en:
[matemáticas] (\ ln {\ mu (x)}) ‘= p (x) [/ matemáticas]
¿Cómo nos deshacemos de ese molesto derivado? ¡Integrar!
[matemáticas] \ int (\ ln {\ mu (x)}) ‘dx = \ int p (x) dx [/ matemáticas]
[matemáticas] \ ln {\ mu (x)} + C_3 = \ int p (x) dx [/ matemáticas]
[matemáticas] \ ln {\ mu (x)} = \ int p (x) dx – C_3 [/ matemáticas]
[matemática] \ ln {\ mu (x)} = \ int p (x) dx + C_4 [/ matemática] (C4 es solo el negativo de C3).
¡Ooh, solo queda un paso antes de que podamos resolver nuestro precioso factor de integración! Vamos a hacerlo:
[matemáticas] e ^ {\ ln {\ mu (x)}} = e ^ {\ int p (x) dx + C_4} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ mu (x) = e ^ {\ int p (x) dx} e ^ {C_4} = C_ {5} e ^ {\ int p (x) dx} [/ matemáticas] (C5 está restringido a ser positivo, ya que la función exponencial solo es positiva excepto en el límite de x-> inifinidad negativa).
Bien, ahora tenemos la fórmula para resolver nuestro factor de integración, y una vez que resolvamos el factor de integración, ¡podemos resolver por y!
Recordando que [matemáticas] p (x) = -2 [/ matemáticas], encontramos que el factor de integración es:
[matemáticas] \ mu (x) = C_ {5} e ^ {\ int -2 dx} = C_ {5} e ^ {- 2x} [/ matemáticas]
Bien, ahora tenemos nuestro factor de integración, solo conéctelo a la fórmula para resolver para y, mientras recuerda que [math] q (x) = \ cos {3x} [/ math]:
[matemática] y = \ frac {\ int C_ {5} e ^ {- 2x} * \ cos {3x} + C_2} {C_ {5} e ^ {- 2x}} [/ matemática]
Divide esa fracción en el +:
[matemáticas] y = \ frac {\ int C_ {5} e ^ {- 2x} \ cos {3x}} {C_ {5} e ^ {- 2x}} + \ frac {C_2} {C_5} e ^ { 2x} [/ matemáticas]
Condensar las constantes en una nueva:
[matemáticas] y = \ frac {\ int C_ {5} e ^ {- 2x} \ cos {3x}} {C_ {5} e ^ {- 2x}} + C_ {6} e ^ {2x} [/ matemáticas]
¡Resuelve esa maldita integral!
Una vez que lo hagas, encontrarás:
[matemáticas] y = – \ frac {2} {13} \ cos {3x} + \ frac {3} {13} \ sin {3x} + C_ {7} e ^ {2x} [/ matemáticas]
Personalmente, encuentro que el método de transformación de Laplace es mucho más satisfactorio:
[matemática] \ matemática {L} (y ‘- 2y) = \ matemática {L} (\ cos {3x}) [/ matemática]
[matemática] \ matemática {L} (y ‘) – 2 \ matemática {L} (y) = \ matemática {L} (\ cos {3x}) [/ matemática]
[matemática] (s \ matemática {L} (y) – y (0)) – 2 \ matemática {L} (y) = \ matemática {L} (\ cos {3x}) [/ matemática]
[matemática] (s – 2) \ matemática {L} (y) – y (0) = \ frac {s} {s ^ 2 + 3 ^ 2} [/ matemática]
[matemáticas] (s – 2) \ matemáticas {L} (y) = \ frac {s} {s ^ 2 + 9} + y (0) [/ matemáticas]
[matemática] \ matemática {L} (y) = \ frac {s} {(s ^ 2 + 9) (s – 2)} + y (0) \ frac {1} {s – 2} [/ matemática]
Luego, una descomposición de fracción parcial da:
[matemáticas] \ matemáticas {L} (y) = \ frac {As + B} {s ^ 2 + 9} + \ frac {C} {s-2} + y (0) \ frac {1} {s- 2} [/ matemáticas]
Cuando resuelve el sistema de ecuaciones lineales para A, B y C, obtiene:
[matemáticas] A = – \ frac {2} {13}, B = \ frac {9} {13}, C = \ frac {2} {13} [/ matemáticas]
Enchufe esos:
[matemáticas] \ matemáticas {L} (y) = \ frac {- \ frac {2} {13} s + \ frac {9} {13}} {s ^ 2 + 9} + \ left (\ frac {2 } {13} + y (0) \ right) \ frac {1} {s-2} [/ math]
Divida el primer término en el + y extraiga las constantes:
[matemáticas] \ matemáticas {L} (y) = – \ frac {2} {13} \ frac {s} {s ^ 2 + 3 ^ 2} + \ frac {3} {13} \ frac {3} { s ^ 2 + 3 ^ 2} + (\ frac {2} {13} + y (0)) \ frac {1} {s-2} [/ matemática]
Invierte tus transformaciones de Laplace y listo:
[matemáticas] y = – \ frac {2} {13} \ cos {3x} + \ frac {3} {13} \ sin {3x} + (y (0) + \ frac {2} {13}) e ^ {2x} [/ matemáticas]
En esta versión, realmente tienes una idea de dónde viene la constante frente a [math] e ^ {2x} [/ math], ya que y (0) es el valor de y en x = 0.
