¿Cómo resolvería la siguiente ecuación diferencial por variación de parámetros?

Answer 1

[matemáticas] D ^ 2-6D + 9 = 0 [/ matemáticas]
Esto da raíces de las ecuaciones como: [matemáticas] 3,3. [/ Matemáticas]
La función complementaria [matemáticas] CF [/ matemáticas] será igual a
[matemática] CF = c_1u_1 (x) + c_2u_2 (x), [/ matemática] donde [matemática] c_1 [/ matemática] y [matemática] c_2 [/ matemática] son ​​constantes arbitrarias y [matemática] u_1 (x) [/ math] y [math] u_2 (x) [/ math] son ​​funciones de [math] x [/ math].
[matemáticas] CF = (c_1 + c_2x) e ^ {3x} = c_1e ^ {3x} + c_2xe ^ {3x} [/ matemáticas]
[matemáticas] u_1 (x) = e ^ {3x} [/ matemáticas]
[matemáticas] u_2 (x) = xe ^ {3x} [/ matemáticas]
A continuación evaluamos Wronskian [math] W [/ math] de [math] u_1 (x), u_2 (x) [/ math]
[math] \ operatorname {W} = \ begin {bmatrix} u_1 (x) & u_2 (x) \\\\ u_1 ‘(x) & u_2’ (x) \ end {bmatrix} [/ math]
[math] u_1 ‘(x) [/ math] y [math] u_2’ (x) [/ math] son ​​desviativos de primer orden de [math] u_1 (x) [/ math] y [math] u_2 (x). [/matemáticas]
[matemáticas] W = \ begin {bmatrix} e ^ {3x} & xe ^ {3x} \\\\ 3e ^ {3x} & (3x + 1) e ^ {3x} \ end {bmatrix} [/ math]
[matemáticas] W = e ^ {6x}. [/ matemáticas]
La solución general de la ecuación diferencial anterior está dada por
[matemáticas] A (x) u_1 (x) + B (x) u_2 (x) [/ matemáticas] donde
[math] \ operatorname {A} (x) = – \ int \ frac {1} {W} Q (x) u_2 (x) \, \ mathrm {d} x [/ math]
[math] \ operatorname {B} (x) = \ int \ frac {1} {W} Q (x) u_1 (x) \, \ mathrm {d} x [/ math]
Aquí [matemáticas] Q (x) = \ frac {e ^ {3x}} {x ^ 2} [/ matemáticas], RHS de la ecuación diferencial (el término es independiente de y).
Dejaré la evaluación de [matemáticas] A (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] B (x) [/ matemáticas] a usted.
[matemáticas] A (x) = -logx + c_1 [/ matemáticas]
[matemáticas] B (x) = \ frac {-1} {x} + c_2 [/ matemáticas]
Solución general:
[matemáticas] y = A (x) u_1 (x) + B (x) u_2 (x) [/ matemáticas]
[matemáticas] y = e ^ {3x} (c_1 + c_2x-logx) [/ matemáticas]
Sí, pasé [matemáticas] 99.99% [/ matemáticas] del tiempo luchando con LaTex.
Pocas evaluaciones te han quedado. Espero que esto ayude.