¿Por qué tomamos la serie de Fourier para señal periódica y la forma de transformada de Fourier para señal no periódica?

Answer 1

La serie de Fourier es la descomposición de una señal periódica en series de suma infinita de armónicos sinusoidales. Es esencialmente una ecuación de síntesis . Sintetiza una señal de múltiples señales más pequeñas. ¿Por qué se desarrolló este método? En esencia, necesitábamos una señal representativa: una señal para representar todo tipo de señales periódicas. Se eligió la señal exponencial ya que es algo así como una señal robusta, es decir. conserva su forma después de la suma, la diferenciación por multiplicación, la integración, etc. Ahora, todos sabemos que existen señales periódicas y aperiódicas en el mundo. Podemos pensar en una señal aperiódica como una señal cuyo período es infinito. Ahora, si intentamos extender la serie de Fourier a una señal aperiódica, consideramos que el límite de la frecuencia tiende a cero (desde el período -> infinito). La suma de la serie de Fourier se convierte en una integración y la ecuación resultante sería la transformada inversa de Fourier . Entonces, ¿qué es la transformación de Fourier? La transformada de Fourier de las señales aperiódicas es en realidad la contrapartida de los coeficientes de Fourier en las señales periódicas.

Answer 2

Porque FS cuando se introdujo estaba destinado solo a señales periódicas. Más tarde, cuando se lo pensó, los ingenieros se dieron cuenta de que todas las señales del mundo real no son periódicas, por lo que era necesario un método nuevo y diferente para cambiar entre dominios.
Luego vino FT, que se desarrolló esencialmente para señales no periódicas asumiendo que las señales son de período infinito.
Y sí, FT también se puede aplicar a señales periódicas, aunque no es un hecho comúnmente conocido 🙂

Answer 3

La serie de Fourier y la transformación de Fourier son útiles porque podemos usarlas para expresar la función original en términos de sinusoides. Es decir, la utilidad proviene de las igualdades (cuando se mantienen):

[matemáticas] f (t) = \ sum_n a_n e ^ {\ frac {j2 \ pi nt} {T}} [/ matemáticas]

y

[matemáticas] f (t) = \ int \ hat {f} (\ omega) e ^ {j2 \ pi \ omega t} [/ matemáticas]

La serie de Fourier en sí misma es una función periódica, por lo que cualquier función que sea igual a su serie de Fourier también debe ser periódica. Una función no periódica no puede igualar su serie de Fourier, por lo tanto, no es tan útil usar series de Fourier para analizar funciones no periódicas. Por otro lado, una función no periódica que se comporta bien es igual a la expresión que involucra su transformada de Fourier que se muestra arriba, por lo que la transformación de Fourier sigue siendo útil; permite expresar la función en términos de sinusoides.

Una nota aquí: la transformación de Fourier también es útil cuando la función es periódica. En cierto sentido, la transformación de Fourier de la función periódica es equivalente a su serie de Fourier. Esto a menudo se expresa como: una función periódica tiene una transformada de Fourier discreta.

Answer 4

Todos los análisis de Fourier asumen señales periódicas.

Puede tomar la transformada de Fourier de una señal no periódica, pero eso supondrá que se repite de todos modos, y no será muy útil en la práctica, porque tendrá un montón de frecuencias falsas que están ahí para cancelar la parte aperiódica, y no son realmente informativos sobre la entrada o el comportamiento del sistema.

Para analizar los transitorios de manera útil, debe usar un espectrograma con un modelo de nivel superior que modula los resultados cambiantes de FFT a lo largo del tiempo, o ondas, que están diseñadas para el análisis de transitorios.

Answer 5

Como la serie de Fourier requiere un período de tiempo, para una señal periódica podemos aplicar Fseries. Su espectro de coeficientes es tan discreto, esto se puede observar tomando la magnitud de Cn y la fase de Cn.

Para otra señal que tiene un período de tiempo es extremadamente alto (no infinito), su magnitud y el diagrama de fase se comprimen al máximo. Anteriormente, el espectro de señal periódica era discreto ahora, en este caso, el espectro se aproxima a una señal continua. ahora, en lugar de usar la sumatoria en Fseries, podemos usar la integración para X (jw). Que es Ftransforms