¿Para qué valores de a el sistema de ecuaciones [matemáticas] \ begin {cases} x ^ 2 = y ^ 2 \\ (x – a) ^ 2 + y ^ 2 = 1 \ end {cases} [/ math], tiene exactamente cero, uno, dos, tres y cuatro soluciones, respectivamente?

Este es un pequeño problema realmente encantador.

La ecuación del círculo es (x – a) ^ 2 + y ^ 2 = 1 y su centro está en (a, 0)

Variaré el valor de “a”, lo que hará que el círculo azul se mueva de derecha a izquierda.

Hay 9 casos posibles a considerar.

En primer lugar, identificaré dos puntos importantes donde las líneas y = ± x son tangentes al círculo.

Esto significa que cuando el centro del círculo azul está en (1.414, 0) o (–1.414, 0)

entonces el círculo tocará las líneas y = ± x

La posición de “a” en el eje x, es el centro del círculo a medida que se mueve a lo largo del eje x de derecha a izquierda.

Puedes ver un breve video de demostración aquí:

https://www.screencast.com/t/r7g…

NOTA: Nunca hay un caso en el que solo haya UNA intersección.

La gráfica de la primera ecuación es solo una forma gigante de X (y = x e y = -x). La segunda ecuación es solo un círculo centrado en (a, 0) con radio 1. Por lo tanto, podemos encontrar el número de soluciones simplemente deslizando el círculo desde el origen y observando cuántas veces se intersecaría con la X gigante.

Entonces para | a | <1, hay 4 soluciones. Para | a | = 1, hay 3 soluciones. Para 1 <| a |

A2A.

Esto no parece difícil. Intenta reemplazar y ^ 2 por x ^ 2 en la segunda ecuación. Eso da directamente un cuadrático en x. Ahora debería ser sencillo.