¿Cuál es la diferencia entre un sistema lineal y un sistema dinámico?

Answer 1

Una respuesta es que un sistema dinámico lineal es la solución a un ODE de la forma

[matemáticas] \ frac {dx} {dt} = A x + b [/ matemáticas]

para alguna matriz [matemática] A [/ matemática], que define un flujo en [matemática] \ mathbb {R} ^ n [/ matemática], digamos, mientras que un sistema dinámico no lineal es la solución de un tipo más general de EDO:

[matemáticas] \ frac {dx} {dt} = F (x) [/ matemáticas]

donde [math] F: \ mathbb {R} ^ n \ to \ mathbb {R} ^ n [/ math] tiene alguna dependencia no lineal de su argumento.

Por otro lado, uno de los conceptos centrales de la teoría de sistemas dinámicos suaves (es decir, la teoría de sistemas diferenciables) es que en puntos ‘genéricos’ para el sistema, la imagen dinámica ‘local’ es ‘aproximadamente’ lineal. Por ejemplo, supongamos que [math] x _ * [/ math] es un punto fijo para la dinámica no lineal anterior. Luego, bajo cierta condición (“hiperbolicidad”) en el diferencial [matemáticas] dF_ {x _ *} [/ matemáticas], el teorema de Hartman-Grobman afirma, más o menos, que la imagen dinámica cerca de [matemáticas] x _ * [/ matemáticas] se asemeja más o menos al sistema dinámico lineal [matemáticas] \ dot {x} = A x [/ matemáticas] con [matemáticas] A = dF_ {x _ *} [/ matemáticas] (en el sentido de “conjugación topológica”).

Una imagen similar es válida para las trayectorias ‘genéricas’ de una EDO dada al considerar un ‘marco móvil’ en este punto: esto se llama teoría de Pesin en la literatura sobre teoría ergódica uniforme. Sin embargo, si está interesado en estos temas, comenzaría por consultar el libro “Introducción a los sistemas dinámicos” de Brin & Stuck.

Answer 2

Un sistema dinámico es cualquier sistema cuyo comportamiento se describe mediante ecuaciones diferenciales. Esto incluye virtualmente cualquier máquina y cualquier cosa que pueda describirse de manera física (no cuántica).

Un sistema lineal es un sistema dinámico cuyas ecuaciones diferenciales son lineales. Esto significa que el lado derecho de las ecuaciones diferenciales se describe completamente como una suma ponderada de las variables de estado más, opcionalmente, por ejemplo

dx / dt = Ax

donde x es el vector de estado y A es una matriz.

En los sistemas de control, a veces usamos una formulación ligeramente diferente,

dx / dt = Ax + Bu

donde u es un vector de entradas de control que podemos modificar, y B es una matriz. La dinámica del sistema se describe luego por A y es lineal, pero la ley de control puede o no ser lineal. Una ley de control lineal tendría la forma

u = Cx

en cuyo caso todo el sistema de circuito cerrado es lineal.

Answer 3

Un sistema lineal se parece a

x_t = Ax + b

Un sistema dinámico toma la forma

x_t = F (x)

y puede tener múltiples puntos fijos x_t = F (x_t)