¿Cómo muestra la regla de la cadena que la derivada es un functor?

Answer 1

Considere la categoría cuyos objetos son múltiples diferenciables (no deje que la terminología lo asuste … simplemente, espacios en los que podemos hacer cálculo) con un punto distinguido, y cuyos morfismos son funciones diferenciables que llevan el punto distinguido al punto distinguido.

Hay un functor de esta categoría a la categoría de espacios vectoriales (sobre cualquier campo escalar implícito fijo), que envía un múltiple con punto al espacio tangente en ese punto, y cuya acción en una función diferenciable es producir el correspondiente mapa lineal entre los espacios tangentes apropiados (la aproximación “localmente lineal” de la función diferenciable cerca del punto distinguido), según lo dado por la diferenciación.

Pero establecer esto como un functor es hacer más que simplemente observar su acción sobre objetos y morfismos; también es para notar que respeta la composición de los morfismos. Y aquí es donde entra la regla de la cadena: establece precisamente que si compones funciones y luego tomas la derivada de la composición, obtienes el mismo resultado que si tomas las derivadas de cada función individual (en cada punto individual relevante), y luego compuso [o, como se podría decir en su lugar, “multiplicó”] esos.

[Si solo le importa, digamos, el cálculo de una sola variable con números reales, podemos reducir la categoría de múltiples a tener como objetos solo números reales particulares y como funciones diferenciables de morfismos que llevan un número al otro, y podemos reducir el categoría de espacios tangentes que solo contienen el espacio vectorial unidimensional de números reales (es decir, al monoide multiplicativo de números reales, interpretado como una categoría de un objeto)]