¿Qué es exactamente integración y derivación?

Answer 1

Algunos matemáticos definen una derivación como un operador tal que

• [matemáticas] d (f + g) = df + dg [/ matemáticas]
• [matemáticas] d (\ lambda f) = \ lambda df [/ matemáticas]
• [matemáticas] d (f \ cdot g) = df \ cdot g + f \ cdot dg [/ matemáticas] (regla de Leibnitz)

Y la integración como operador inverso, es decir [math] \ int f = g [/ math], si y solo si [math] dg = f [/ math].

Bueno, básicamente si puedes calcularlo, lo has entendido.
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Ahora, si no está satisfecho con una definición formal, tiene algunas interpretaciones intuitivas.

Para Newton, la derivación y ‘= d y / d x con respecto al tiempo es la velocidad.
Para Liebnitz, la derivación es la variación de y cuando x varía de una cantidad muy pequeña.
Para Bernouilli, la derivación es la tangente de una curva.
Para Euler, la derivación es el primer término de una expansión en serie.
Para Cartan, la derivación es la mejor aproximación lineal.
Para Banach, la derivación es un límite.
Para Gâteaux, la derivación mide la variación de densidad en una dirección.
Para Grothendieck, la derivación es un cálculo que se puede realizar en algunos espacios abstractos.

Para Cavaleri, la integral es un área.
Para Leibnitz y Newton, la integración es una suma acumulativa de cantidades muy pequeñas.
Para Reimann, la integración es un límite de sumas.
Para Lebesgue, la integración es una medida.
Para Weil, la integración es un operador lineal.
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Tal vez un problema es que no es fácil dominar todas estas definiciones al comienzo. Sin decir que entiendo por qué son lo mismo.

Le sugiero que comience con la vista de Newton o Leibnitz, y tenga la seguridad de que, siempre que esté utilizando correctamente las reglas de cálculo anteriores, no se equivocará en el otro punto de vista, que vendrá lentamente.

Answer 2

Cuando tratamos con ecuaciones básicas de línea recta, el gradiente es fácil de determinar, ¿verdad? Es solo el aumento sobre la carrera; o en términos matemáticos Δy / Δx para cualquier par de puntos (x1, y1) y (x2, y2) que están en la línea. Este gradiente termina siendo el valor ‘m’ En la forma general de la ecuación de línea recta: y = mx + c.

Ahora, ¿qué es lo que queríamos extender este concepto a curvas más complicadas? Tomemos un polinomio simple como y = x² como ejemplo. Ahora si tomamos dos valores generales de x. Llamémoslos ‘x’ y ‘x + h’ donde ‘x + h’ es solo un valor de x, una distancia arbitraria ‘h’ de nuestra primera coordenada x. Entonces ahora tenemos nuestros dos puntos que son (x, f (x)) y ((x + h), f (x + h)). * tenga en cuenta que f (x) es solo la coordenada y para el valor x correspondiente *

Volviendo a la fórmula que indiqué anteriormente (Δy / Δx), ¿por qué no intentamos aplicar esta fórmula y ver qué sucede …?

Ok, ahora, tenemos gradiente (o m) = [f (x + h) – f (x)] / [(x + h) – x]

Las x se cancelan en el denominador y nos queda solo ‘h’.

Ahora, ese valor h no nos ayuda porque no sabemos qué es lo correcto. Lo usamos para representar la distancia entre nuestras dos coordenadas x de nuestros puntos ….. mmm

Así que retrocedamos un poco … ¿Podemos definir realmente el gradiente de una curva como y = x²? ¿No es una línea recta entre dos puntos? * a menos que dos puntos estén realmente juntos *! En otras palabras, si hacemos que nuestro valor ‘h’ sea realmente muy pequeño, será casi como una línea recta entre nuestros dos puntos elegidos en la curva.

¿Qué tan pequeño es realmente muy, muy pequeño, preguntas? Bueno, no puede ser 0 porque tendremos un punto en lugar de dos. Eso significaría que nuestro valor ‘h’ sería 0 y eso significaría que tendríamos que dividir por cero, lo cual es un gran no-no en matemáticas. Entonces, ¿por qué no tomamos el límite como ‘h’ ENFOQUES 0, es decir, cuando ‘h’ se acerca más y más a 0, a qué se aproxima nuestro gradiente?

Entonces ahora tenemos m o (dy / dx, como decimos en cálculo) = lim (h-> 0) para [f (x + h) – f (x)] / h.

Entonces ahora sub en nuestros valores x en la función (f (x) = x²) y terminamos con (x + h) ² – (x) ². Vamos a expandir el primer paréntesis …… (x + h) ² = x² + 2xh + h².

Entonces ahora tenemos x² + 2xh + h² – x² y las ‘x² se cancelan para dar 2xh + h² como numerador. Vamos a factorizarlo sacando una ‘h’ común que da h (2x + h).

Entonces, ahora toda la fracción es lim (h-> 0) h (2x + h) / h. La h en el numerador y el denominador se cancela para dar 1. Lo que significa que ahora tenemos simplemente * 2x + h *.

Y dado que nuestro límite requiere que h tenga una tendencia a 0. Simplemente decimos h = 0, por lo que ahora nos queda dy / dx = 2x. En otras palabras, el gradiente en cualquier punto de la curva y = x² puede calcularse mediante la función de gradiente y = 2x.

Answer 3

Una derivada es la pendiente de una curva en un punto dado. En términos reales, es qué tan rápido está cambiando una variable. Digamos que te subes a tu auto, lo enciendes y pisas el acelerador. La velocidad de su automóvil aumentará. Si grafica esa velocidad con el tiempo, la derivada de la velocidad le dirá qué tan rápido está acelerando el automóvil.

Integral es el área bajo una curva. Digamos que quieres saber cuánta agua hay en un lago. Si tienes algún tipo de lago cúbico extraño que solo sigue líneas rectas (por ejemplo, una piscina), solo calcula el largo x ancho x alto, y ahí está tu volumen. Si es circular o esférico, de manera similar puede usar fórmulas de geometría básica para calcular el volumen. Sin embargo, la mayoría de los lagos tendrán formas irregulares con varias curvas. La integración puede darle el volumen de estas formas irregulares.

Answer 4

1. Mira los gráficos en la imagen. El gráfico uno es para derivada. La derivada es básicamente la pendiente de la línea tangente, o tasa de cambio.

   El gráfico 2 es para la integración. La integración es encontrar el área entre la curva y el eje x.

Answer 5

Las diferenciaciones nos dicen qué tan rápido está cambiando la función con respecto a sus variables independientes. La integración nos dice el área bajo la curva de la función o el volumen debajo de la superficie de la función.

Uno es una medida local. El otro es una medida global.